Реши задание на изображении
Кратко
- За минимальную единицу измерения информации принят бит.
- Чтобы определить информационный вес одного символа, нужно знать мощность алфавита — количество различных символов \(N\) в нём. Затем находят минимальное целое \(i\), при котором
\[ 2^i \ge N. \] Это \(i\) и есть информационный вес символа в битах.
Разбор
- Один символ нужно как-то отличить от остальных \(N-1\) символов.
- Если для символа отводится \(i\) бит, существует \(2^i\) различных двоичных кодов.
- Кодов должно хватить на все символы алфавита: \[ 2^i \ge N. \]
- Берём наименьшее подходящее \(i\).
Примеры:
- \(N=4\): \(2^2=4\), значит, \(i=2\) бита.
- \(N=5\): \(2^2=4<5\), а \(2^3=8\ge5\), значит, \(i=3\) бита.
- \(N=33\): \(2^5=32<33\), а \(2^6=64\ge33\), значит, \(i=6\) бит.
Если в сообщении \(K\) символов, его объём: \[ I=K\cdot i. \]
В этом разделе обычно предполагается, что все символы алфавита равновероятны.
Обсуждение
5 сообщенийВот решение заданий 3–6 со страницы 40.
Задание 3
| \(N\) | \(N=2^i\) | \(i\) (бит) |
|---|---|---|
| 8 | \(2^3=8\) | 3 |
| 32 | \(2^5=32\) | 5 |
| 64 | \(2^6=64\) | 6 |
| 128 | \(2^7=128\) | 7 |
| 256 | \(2^8=256\) | 8 |
Задание 4
Информационный объём сообщения вычисляют по формуле:
\[ I=K\cdot i, \]
где \(K\) — количество символов в сообщении, \(i\) — информационный вес одного символа в битах.
Чтобы найти \(i\), нужно знать мощность алфавита \(N\) — число различных символов. Из условия
\[ 2^i \ge N \]
берут наименьшее целое \(i\). Если \(N\) — степень двойки, то \(2^i=N\), и \(i=\log_2 N\).
Например, для алфавита мощностью \(N=32\): \(2^5=32\), значит, \(i=5\) бит. Если в сообщении \(K=100\) символов, то
\[ I=100\cdot5=500\text{ бит}. \]
Для естественного языка учитывают все используемые символы: буквы, пробелы, знаки препинания и т. п.
Задание 5
| \(N\) | \(N=2^i\) | \(i\) (бит) | \(K\) | \(I=K\cdot i\) (бит) |
|---|---|---|---|---|
| 8 | \(2^3=8\) | 3 | 200 | \(200\cdot3=600\) |
| 16 | \(2^4=16\) | 4 | 110 | \(110\cdot4=440\) |
| 64 | \(2^6=64\) | 6 | 120 | \(120\cdot6=720\) |
| 128 | \(2^7=128\) | 7 | 100 | \(100\cdot7=700\) |
| 256 | \(2^8=256\) | 8 | 80 | \(80\cdot8=640\) |
Задание 6
Племя Мульти: \[ N=16 \Rightarrow 2^4=16 \Rightarrow i=4\text{ бита}. \] \[ I_1=120\cdot4=480\text{ бит}. \]
Племя Пульти: \[ N=32 \Rightarrow 2^5=32 \Rightarrow i=5\text{ бит}. \] \[ I_2=96\cdot5=480\text{ бит}. \]
Сравнение: \[ 480\text{ бит}=480\text{ бит}. \]
Информационные объёмы писем равны — по \(480\) бит, или по \(60\) байт.
Это продолжение темы «Измерение информации». Используем формулы:
\[ i=\frac{I}{K}, \qquad 2^i=N, \]
где \(i\) — информационный вес одного символа, \(K\) — количество символов, \(N\) — мощность алфавита.
№ 7
\[ i=\frac{650}{130}=5\text{ бит}. \]
Ответ: 5 бит.
№ 8
Переводим: \(1\text{ байт}=8\text{ бит}\), \(1\text{ Кбайт}=1024\text{ байта}\).
| Бит | Байт | Кбайт |
|---|---|---|
| 24 576 | 3 072 | 3 |
| 16 384 | 2 048 | 2 |
| 12 288 | 1 536 | 1,5 |
Например:
\[ 24\,576:8=3072\text{ байт}, \] \[ 3072:1024=3\text{ Кбайт}. \]
№ 9
\[ 375\text{ байт}=375\cdot8=3000\text{ бит}. \]
\[ i=\frac{3000}{500}=6\text{ бит}. \]
Максимальная мощность алфавита:
\[ N=2^6=64. \]
Ответ: информационный вес символа — 6 бит; максимальная мощность алфавита — 64 символа.
№ 10
Для алфавита из 64 символов:
\[ 2^i=64 \Rightarrow i=6\text{ бит}. \]
Количество символов:
\[ K=3\cdot40\cdot60=7200. \]
Объём в битах:
\[ I=7200\cdot6=43\,200\text{ бит}. \]
Переводим в байты:
\[ 43\,200:8=5400\text{ байт}. \]
Ответ: 5400 байт.
№ 11
Количество символов:
\[ K=6\cdot40\cdot60=14\,400. \]
Объём сообщения:
\[ 9000\text{ байт}=9000\cdot8=72\,000\text{ бит}. \]
Тогда:
\[ i=\frac{72\,000}{14\,400}=5\text{ бит}. \]
Следовательно:
\[ N=2^5=32. \]
Ответ: информационный вес символа — 5 бит; алфавит может содержать не более 32 символов, то есть 32 символа.
№ 12
Алфавит из 32 символов:
\[ 2^i=32 \Rightarrow i=5\text{ бит}. \]
На одной табличке:
\[ 256\cdot5=1280\text{ бит}=1280:8=160\text{ байт}. \]
На всём своде законов:
\[ 512\cdot1280=655\,360\text{ бит}, \]
или
\[ 655\,360:8=81\,920\text{ байт}=80\text{ Кбайт}. \]
Ответ: на каждой табличке — 1280 бит, или 160 байт; во всём своде — 655 360 бит, или 81 920 байт, или 80 Кбайт.
146,147
