Реши задание на изображении
На фото несколько номеров — 90–102. Ниже решения всех видимых пунктов; для графиков указаны вершина, направление ветвей и контрольные точки.
Общий принцип. График \(y=ax^2\) — парабола с вершиной \((0;0)\), осью симметрии \(x=0\).
- Если \(a>0\): ветви вверх, область значений \([0;+\infty)\), убывает на \((-\infty;0]\), возрастает на \([0;+\infty)\).
- Если \(a<0\): ветви вниз, область значений \((-\infty;0]\), возрастает на \((-\infty;0]\), убывает на \([0;+\infty)\).
- Чем больше \(|a|\), тем уже парабола.
- Точки пересечения находим, приравнивая формулы.
90. \(y=\dfrac14x^2\), ветви вверх, вершина \((0;0)\), контрольные точки \((\pm2;1)\), \((\pm4;4)\).
а)
\[
y(-2{,}5)=1{,}5625,\quad y(-1{,}5)=0{,}5625,\quad y(3{,}5)=3{,}0625.
\]
б)
\[
y=5:\ x=\pm2\sqrt5;\quad
y=3:\ x=\pm2\sqrt3;\quad
y=2:\ x=\pm2\sqrt2.
\]
в) Убывает на \((-\infty;0]\), возрастает на \([0;+\infty)\).
91. \(y=-2x^2\), ветви вниз, вершина \((0;0)\), точки \((\pm1;-2)\), \((\pm2;-8)\).
а)
\[
y(-1{,}5)=-4{,}5,\quad y(0{,}6)=-0{,}72,\quad y(1{,}5)=-4{,}5.
\]
б)
\[
y=-1:\ x=\pm\frac{\sqrt2}{2};\quad
y=-3:\ x=\pm\frac{\sqrt6}{2};\quad
y=-4{,}5:\ x=\pm1{,}5.
\]
в) Возрастает на \((-\infty;0]\), убывает на \([0;+\infty)\).
92. Значения функций:
| \(x\) | \(x^2\) | \(1{,}8x^2\) | \(\frac13x^2\) |
|---|---|---|---|
| \(0{,}5\) | \(0{,}25\) | \(0{,}45\) | \(\frac1{12}\approx0{,}083\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1{,}8\) | \(\frac13\approx0{,}333\) |
| \(2\) | \(4\) | \(7{,}2\) | \(\frac43\approx1{,}333\) |
При \(x\ne0\): \[ \frac13x^2<x^2<1{,}8x^2. \] График \(y=1{,}8x^2\) самый узкий, \(y=\frac13x^2\) — самый широкий.
93.
У \(y=0{,}4x^2\) область значений \([0;+\infty)\).
У \(y=-0{,}4x^2\) область значений \((-\infty;0]\).
Графики симметричны относительно оси \(x\), общая вершина \((0;0)\).
94.
а) \(y=-1{,}5x^2\): ветви вниз, вершина \((0;0)\), точки \((\pm1;-1{,}5)\), \((\pm2;-6)\).
Свойства: область определения \((-\infty;+\infty)\), область значений \((-\infty;0]\), наибольшее значение \(0\) при \(x=0\), возрастает на \((-\infty;0]\), убывает на \([0;+\infty)\), чётная.
б) \(y=0{,}8x^2\): ветви вверх, точки \((\pm1;0{,}8)\), \((\pm2;3{,}2)\).
Свойства: область определения \((-\infty;+\infty)\), область значений \([0;+\infty)\), наименьшее значение \(0\) при \(x=0\), убывает на \((-\infty;0]\), возрастает на \([0;+\infty)\), чётная.
95.
а) \(y=0{,}2x^2\): ветви вверх, широкая парабола; область значений \([0;+\infty)\), минимум \(0\) при \(x=0\), убывает на \((-\infty;0]\), возрастает на \([0;+\infty)\).
б) \(y=-10x^2\): ветви вниз, узкая парабола; область значений \((-\infty;0]\), максимум \(0\) при \(x=0\), возрастает на \((-\infty;0]\), убывает на \([0;+\infty)\).
96.
а) \(2x^2=50\Rightarrow x=\pm5\). Да: \((-5;50)\), \((5;50)\).
б) \(2x^2=100\Rightarrow x=\pm5\sqrt2\). Да: \((-5\sqrt2;100)\), \((5\sqrt2;100)\).
в) \(2x^2=-8\) — нет действительных решений. Не пересекаются.
г)
\[
2x^2=14x-20 \Rightarrow x^2-7x+10=0 \Rightarrow x=2;5.
\]
Да: \((2;8)\), \((5;50)\).
97.
а) \(M(1{,}5;-225)\):
\[
-100\cdot1{,}5^2=-225 \Rightarrow \text{да}.
\]
б) \(K(-3;-900)\):
\[
-100\cdot(-3)^2=-900 \Rightarrow \text{да}.
\]
в) \(P(2;400)\):
\[
-100\cdot2^2=-400\ne400 \Rightarrow \text{нет}.
\]
98.
\[
-x^2=2x-3 \Rightarrow x^2+2x-3=0 \Rightarrow x=-3;\ 1.
\]
Точки пересечения:
\[
(-3;-9),\quad (1;-1).
\]
Графически: парабола \(y=-x^2\) и прямая \(y=2x-3\) пересекаются в этих двух точках.
99.
\[
0{,}01x^2=10x \Rightarrow x(0{,}01x-10)=0.
\]
Общие точки:
\[
(0;0)\quad\text{и}\quad(1000;10000).
\]
Да, кроме \(O(0;0)\), есть ещё одна общая точка.
100.
\[
x^2=kx-4 \Rightarrow x^2-kx+4=0.
\]
Одна общая точка — когда дискриминант равен нулю:
\[
D=k^2-16=0 \Rightarrow k=\pm4.
\]
Ответ: \(k=-4\) или \(k=4\).
101. График \(S=\pi r^2\) — правая ветвь параболы, \(r\ge0\).
а)
\[
S(1{,}3)=1{,}69\pi\approx5{,}31\ \text{см}^2,
\]
\[
S(0{,}8)=0{,}64\pi\approx2{,}01\ \text{см}^2,
\]
\[
S(2{,}1)=4{,}41\pi\approx13{,}85\ \text{см}^2.
\]
б)
\[
r=\sqrt{\frac{S}{\pi}}.
\]
\[
S=1{,}8:\ r\approx0{,}76\ \text{см};
\]
\[
S=2{,}5:\ r\approx0{,}89\ \text{см};
\]
\[
S=6{,}5:\ r\approx1{,}44\ \text{см}.
\]
102. Если ребро куба \(x\), то площадь поверхности: \[ y=6x^2. \] График — правая ветвь параболы \(y=6x^2\) при \(x\ge0\).
а)
\[
x=0{,}9:\ y=6\cdot0{,}81=4{,}86\ \text{см}^2;
\]
\[
x=1{,}5:\ y=6\cdot2{,}25=13{,}5\ \text{см}^2;
\]
\[
x=1{,}8:\ y=6\cdot3{,}24=19{,}44\ \text{см}^2.
\]
В кадре №102 обрезан после пункта а) — если нужны следующие пункты, пришлите нижнюю часть страницы.
