Реши 3, 4 и 5

Краткие ответы

3. \(x=3,\ y=-1\), то есть \((3;-1)\).

4.

1. \(x<12\), или \(x\in(-\infty;12)\).
2. \(-4\le x\le 4\), или \(x\in[-4;4]\).

5. \(x=1\).

---

Как решать

Главный приём: привести обе части уравнения или неравенства к одному основанию.
Для \(a>0,\ a\ne1\):

\[ a^u=a^v \quad\Leftrightarrow\quad u=v. \]

Но в неравенствах важно основание:

• если \(a>1\), знак неравенства сохраняется;
• если \(0<a<1\), знак неравенства меняется на противоположный.

№ 3

\[ \begin{cases} x-y=4,\\ 2^{x+y}=4. \end{cases} \]

Из первого уравнения:

\[ x=y+4. \]

Так как \(4=2^2\), второе уравнение даёт:

\[ 2^{x+y}=2^2 \quad\Rightarrow\quad x+y=2. \]

Подставляем \(x=y+4\):

\[ (y+4)+y=2 \]

\[ 2y+4=2 \]

\[ 2y=-2,\quad y=-1. \]

Тогда:

\[ x=y+4=-1+4=3. \]

Ответ: \((3;-1)\).

Проверка:

\[ 3-(-1)=4,\qquad 2^{3+(-1)}=2^2=4. \]

---

№ 4, пункт 1

\[ (\sqrt7)^{x-8}<49. \]

Заметим, что

\[ \sqrt7=7^{\frac12},\qquad 49=7^2=(\sqrt7)^4. \]

То есть:

\[ (\sqrt7)^{x-8}<(\sqrt7)^4. \]

Основание \(\sqrt7>1\), поэтому знак неравенства сохраняется:

\[ x-8<4. \]

\[ x<12. \]

Ответ:

\[ x\in(-\infty;12). \]

При \(x=12\) получилось бы равенство, а знак строгий, поэтому \(12\) не включаем.

---

№ 4, пункт 2

\[ \left(\frac13\right)^{x^2-16}\ge1. \]

Так как

\[ 1=\left(\frac13\right)^0, \]

получаем:

\[ \left(\frac13\right)^{x^2-16}\ge\left(\frac13\right)^0. \]

Основание \(\frac13<1\), значит, знак неравенства меняется:

\[ x^2-16\le0. \]

\[ x^2\le16. \]

\[ -4\le x\le4. \]

Ответ:

\[ x\in[-4;4]. \]

---

№ 5

\[ 5^{x+1}+5\cdot5^x=50. \]

Используем свойство степеней:

\[ 5^{x+1}=5^x\cdot5. \]

Тогда:

\[ 5\cdot5^x+5\cdot5^x=50. \]

\[ 10\cdot5^x=50. \]

\[ 5^x=5. \]

\[ 5^x=5^1, \]

поэтому:

\[ x=1. \]

Проверка:

\[ 5^{1+1}+5\cdot5^1=25+25=50. \]

Ответ: \(x=1\).