Реши 1053,1054,1055

Краткие ответы

• 1053. \(x^2+y^2=10\)
• 1054. \(x^2+(y-6)^2=25\)
• 1055. а) \((x-2)^2+(y-1)^2=41\); б) \((x-3)^2+(y-1)^2=5\)

---

Главный принцип

Уравнение окружности с центром \(C(x_0;y_0)\) и радиусом \(R\):

\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 \]

Радиус — это расстояние от центра до любой точки окружности. Поэтому, если известна точка \(B\) на окружности, то

\[ R^2=(x_B-x_0)^2+(y_B-y_0)^2 \]

В уравнение записывают именно \(R^2\), а не сам радиус.

---

1053

Центр — начало координат, значит \(x_0=0,\ y_0=0\). Точка \(B(-1;3)\) лежит на окружности:

\[ R^2=(-1-0)^2+(3-0)^2=1+9=10 \]

Получаем:

\[ \boxed{x^2+y^2=10} \]

Проверка: подставим \(B(-1;3)\):

\[ (-1)^2+3^2=1+9=10 \]

Верно.

---

1054

Центр — точка \(A(0;6)\). Точка \(B(-3;2)\) лежит на окружности:

\[ R^2=(-3-0)^2+(2-6)^2=(-3)^2+(-4)^2=9+16=25 \]

Значит, уравнение:

\[ \boxed{x^2+(y-6)^2=25} \]

Проверка: подставим \(B(-3;2)\):

\[ (-3)^2+(2-6)^2=9+16=25 \]

Верно. Радиус здесь равен \(5\).

---

1055

Если \(MN\) — диаметр, то:

• центр окружности — середина отрезка \(MN\);
• радиус — половина длины \(MN\).

Формулы:

\[ x_0=\frac{x_M+x_N}{2},\qquad y_0=\frac{y_M+y_N}{2} \]

\[ R^2=\frac{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}{4} \]

а) \(M(-3;5),\ N(7;-3)\)

Центр:

\[ x_0=\frac{-3+7}{2}=2,\qquad y_0=\frac{5+(-3)}{2}=1 \]

То есть центр \(C(2;1)\).

Квадрат диаметра:

\[ MN^2=(7-(-3))^2+(-3-5)^2=10^2+(-8)^2=100+64=164 \]

Тогда:

\[ R^2=\frac{164}{4}=41 \]

Уравнение:

\[ \boxed{(x-2)^2+(y-1)^2=41} \]

Проверка: для \(M(-3;5)\):

\[ (-3-2)^2+(5-1)^2=25+16=41 \]

Для \(N(7;-3)\):

\[ (7-2)^2+(-3-1)^2=25+16=41 \]

Обе точки подходят.

б) \(M(2;-1),\ N(4;3)\)

Центр:

\[ x_0=\frac{2+4}{2}=3,\qquad y_0=\frac{-1+3}{2}=1 \]

Центр \(C(3;1)\).

Квадрат диаметра:

\[ MN^2=(4-2)^2+(3-(-1))^2=2^2+4^2=4+16=20 \]

Тогда:

\[ R^2=\frac{20}{4}=5 \]

Уравнение:

\[ \boxed{(x-3)^2+(y-1)^2=5} \]

Проверка: для \(M(2;-1)\):

\[ (2-3)^2+(-1-1)^2=1+4=5 \]

Для \(N(4;3)\):

\[ (4-3)^2+(3-1)^2=1+4=5 \]

Верно.

---

Что запомнить

1. В уравнении окружности справа стоит \(R^2\).
2. Центр подставляем со знаком «минус»: \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2\).
3. Если дан диаметр, центр — середина отрезка, а радиус — половина диаметра.
4. Проверка: координаты точки окружности должны давать верное равенство.