Как найти медиану треугоььника

Коротко: медиана треугольника — это отрезок из вершины к середине противоположной стороны. Способ вычисления зависит от того, что известно.

Пусть в треугольнике \(ABC\) стороны: \[ BC=a,\qquad CA=b,\qquad AB=c. \] Медиана из вершины \(A\) к стороне \(BC\) обозначается \(m_a\).

1. Если нужна формула по трём сторонам

\[ m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}. \] То есть для медианы из \(A\): \[ m_a=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}. \]

Почему так: если \(M\) — середина \(BC\), то \(BM=MC=\frac a2\). По формуле Аполлония: \[ AB^2+AC^2=2AM^2+2BM^2. \] Подставляем \(BM=\frac a2\) и получаем формулу выше.

2. Если даны координаты

Например, \(A(x_A;y_A)\), \(B(x_B;y_B)\), \(C(x_C;y_C)\).
Сначала находим середину \(BC\): \[ M\left(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2}\right). \] Потом длину медианы: \[ AM=\sqrt{(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2}. \]

3. Полезные частные случаи

• В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы.
• В равностороннем треугольнике со стороной \(a\) медиана равна \[ \frac{a\sqrt3}{2}. \]
• Медианы пересекаются в точке \(G\) и делятся ею в отношении \(2:1\), считая от вершины:
  \[ AG:GM=2:1. \]

Пример

В треугольнике \(AB=5\), \(AC=7\), \(BC=8\). Найдём медиану из \(A\): \[ m_a=\frac12\sqrt{2\cdot7^2+2\cdot5^2-8^2} =\frac12\sqrt{98+50-64} =\frac12\sqrt{84} =\sqrt{21}. \] Ответ: \(m_a=\sqrt{21}\approx 4{,}58\).

Если в конкретной задаче даны другие данные — например, только две стороны и угол или рисунок, — по ним тоже можно найти медиану: сначала достраиваем/вычисляем третью сторону, потом применяем формулу.