Реши эти примеры из алгебры 9 класс
Кратко
№1. Корни уравнений:
- а) \(x^2-8x+15=0\) → \(x=3;\ 5\)
- б) \(\dfrac{(x+1)^2}{12}-\dfrac{1-x^2}{24}=4\) → \(x=5;\ -\dfrac{19}{3}\)
- в) \(x^2-\dfrac{13}{4}x+0{,}75=0\) → \(x=\dfrac14;\ 3\)
- г) \((8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38\) → \(x=-2\)
- д) \(\dfrac13(15x-1)(1+15x)=\dfrac83\) → \(x=\pm\dfrac15\)
- е) \((6-x)(x+6)-(x-11)x=36\) → \(x=0;\ \dfrac{11}{2}\)
- ж) \(9x^2-\dfrac{(12x-11)(3x+8)}4=1\) → \(x=\dfrac43\)
№2 — здесь нужно определить степень уравнения, а не решить его:
- а) \(4\)
- б) \(3\)
- в) \(7\)
- г) \(1\)
Как решать
а)
\[
x^2-8x+15=0
\]
Подбираем корни: \(3\cdot5=15\), \(3+5=8\). Значит:
\[
(x-3)(x-5)=0 \Rightarrow x=3;\ 5.
\]
б) Умножаем всё на \(24\): \[ 2(x+1)^2-(1-x^2)=96. \] После раскрытия: \[ 3x^2+4x-95=0. \] Дискриминант: \[ D=16+1140=1156=34^2. \] \[ x=\frac{-4\pm34}{6}. \] Отсюда \(x=5\) и \(x=-\frac{19}{3}\).
в) Умножаем на \(4\): \[ 4x^2-13x+3=0. \] \[ D=169-48=121=11^2, \] \[ x=\frac{13\pm11}{8}. \] Значит \(x=3\) и \(x=\frac14\).
г) Раскрываем скобки: \[ (8x-1)(2x-3)=16x^2-26x+3, \] \[ (4x-1)^2=16x^2-8x+1. \] Тогда: \[ 16x^2-26x+3-(16x^2-8x+1)=38, \] \[ -18x+2=38, \] \[ x=-2. \]
д) Используем формулу разности квадратов: \[ (15x-1)(15x+1)=225x^2-1. \] Уравнение: \[ \frac{225x^2-1}{3}=\frac83. \] Умножаем на \(3\): \[ 225x^2-1=8, \] \[ 225x^2=9, \] \[ x^2=\frac1{25}, \] \[ x=\pm\frac15. \]
е)
\[
(6-x)(x+6)=36-x^2,
\]
\[
-(x-11)x=-x^2+11x.
\]
Получаем:
\[
36-x^2-x^2+11x=36,
\]
\[
-2x^2+11x=0,
\]
\[
x(11-2x)=0.
\]
Значит:
\[
x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{11}{2}.
\]
ж) Умножаем на \(4\): \[ 36x^2-(12x-11)(3x+8)=4. \] Раскрываем: \[ (12x-11)(3x+8)=36x^2+63x-88. \] Тогда: \[ 36x^2-(36x^2+63x-88)=4, \] \[ -63x+88=4, \] \[ -63x=-84, \] \[ x=\frac{84}{63}=\frac43. \]
№2: почему такие степени
Степень уравнения — это наибольшая степень \(x\) после упрощения.
- а) \(3x^2-8x^4+x+1=0\) → старшая степень \(4\);
- б) \((x^2+3)(x-4)=0\) → после раскрытия будет \(x^3-4x^2+3x-12=0\), степень \(3\);
- в) \(x^7-9x^2+4=0\) → степень \(7\);
- г) \[ 6x^3-6x(x^2+5)=9 \] после раскрытия: \[ 6x^3-6x^3-30x=9, \] \[ -30x=9. \] Кубы сокращаются, поэтому степень уравнения не \(3\), а \(1\).
Проверка: все найденные корни можно подставить в исходные уравнения — равенства выполняются. Главный принцип: сначала упростить уравнение, затем решать; для квадратного — через дискриминант или разложение на множители.
Номера 10–12 внизу снимка обрезаны — если они тоже нужны, пришлите их полностью.
Обсуждение
4 сообщенияЭти задачи с фото нужно решить через дискриминант
Эти задачи с фото нужно решить через дискриминант
Дискриминант применяется только к квадратным уравнениям:
\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
Для уравнений г) и ж) после раскрытия скобок \(x^2\) сокращается, поэтому они становятся линейными — дискриминант там не используют.
№1
а)
\[
x^2-8x+15=0
\]
\[
D=(-8)^2-4\cdot1\cdot15=64-60=4
\]
\[
x_{1,2}=\frac{8\pm2}{2}
\]
\[
x_1=3,\quad x_2=5.
\]
б)
\[
\frac{(x+1)^2}{12}-\frac{1-x^2}{24}=4
\]
Умножим на \(24\):
\[
2(x+1)^2-(1-x^2)=96
\]
\[
3x^2+4x-95=0
\]
\[
D=4^2-4\cdot3\cdot(-95)=16+1140=1156=34^2
\]
\[
x_{1,2}=\frac{-4\pm34}{6}
\]
\[
x_1=5,\quad x_2=-\frac{19}{3}.
\]
в)
\[
x^2-\frac{13}{4}x+0{,}75=0
\]
Умножим на \(4\):
\[
4x^2-13x+3=0
\]
\[
D=(-13)^2-4\cdot4\cdot3=169-48=121=11^2
\]
\[
x_{1,2}=\frac{13\pm11}{8}
\]
\[
x_1=3,\quad x_2=\frac14.
\]
г)
\[
(8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38
\]
Раскрываем скобки:
\[
16x^2-26x+3-(16x^2-8x+1)=38
\]
\[
-18x+2=38
\]
\[
-18x=36
\]
\[
x=-2.
\]
Это линейное уравнение, дискриминант не нужен.
д)
\[
\frac13(15x-1)(1+15x)=\frac83
\]
Так как \((15x-1)(15x+1)=225x^2-1\):
\[
\frac{225x^2-1}{3}=\frac83
\]
\[
225x^2-9=0
\]
Разделим на \(9\):
\[
25x^2-1=0
\]
\[
D=0^2-4\cdot25\cdot(-1)=100=10^2
\]
\[
x_{1,2}=\frac{0\pm10}{50}
\]
\[
x_1=\frac15,\quad x_2=-\frac15.
\]
е)
\[
(6-x)(x+6)-(x-11)x=36
\]
\[
36-x^2-(x^2-11x)=36
\]
\[
-2x^2+11x=0
\]
Умножим на \(-1\):
\[
2x^2-11x=0
\]
\[
D=(-11)^2-4\cdot2\cdot0=121
\]
\[
x_{1,2}=\frac{11\pm11}{4}
\]
\[
x_1=0,\quad x_2=\frac{11}{2}=5{,}5.
\]
ж)
\[
9x^2-\frac{(12x-11)(3x+8)}{4}=1
\]
Умножим на \(4\):
\[
36x^2-(12x-11)(3x+8)=4
\]
Раскрываем скобки:
\[
(12x-11)(3x+8)=36x^2+63x-88
\]
Тогда:
\[
36x^2-(36x^2+63x-88)=4
\]
\[
-63x+88=4
\]
\[
-63x=-84
\]
\[
x=\frac{84}{63}=\frac43.
\]
Это тоже линейное уравнение после упрощения.
Ответы
\[ \boxed{\text{а) }3;\ 5} \] \[ \boxed{\text{б) }5;\ -\frac{19}{3}} \] \[ \boxed{\text{в) }3;\ \frac14} \] \[ \boxed{\text{г) }-2} \] \[ \boxed{\text{д) }\pm\frac15} \] \[ \boxed{\text{е) }0;\ \frac{11}{2}} \] \[ \boxed{\text{ж) }\frac43} \]
№2 — это задание не на решение уравнений, а на определение степени уравнения, поэтому дискриминант там не применяется.
Ок, переоформляю решение №1 строго через дискриминант.
Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\):
\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]
а)
\[
x^2-8x+15=0
\]
\[
a=1,\quad b=-8,\quad c=15
\]
\[
D=(-8)^2-4\cdot1\cdot15=64-60=4
\]
\[
x_{1,2}=\frac{8\pm2}{2}
\]
\[
x_1=5,\qquad x_2=3
\]
Ответ: \(3;\ 5\).
б)
\[
\frac{(x+1)^2}{12}-\frac{1-x^2}{24}=4
\]
Умножаем на \(24\):
\[
2(x+1)^2-(1-x^2)=96
\]
\[
2x^2+4x+2-1+x^2=96
\]
\[
3x^2+4x-95=0
\]
\[
a=3,\quad b=4,\quad c=-95
\]
\[
D=4^2-4\cdot3\cdot(-95)=16+1140=1156=34^2
\]
\[
x_{1,2}=\frac{-4\pm34}{6}
\]
\[
x_1=5,\qquad x_2=-\frac{19}{3}
\]
Ответ: \(5;\ -\frac{19}{3}\).
в)
\[
x^2-\frac{13}{4}x+0{,}75=0
\]
Умножаем на \(4\):
\[
4x^2-13x+3=0
\]
\[
a=4,\quad b=-13,\quad c=3
\]
\[
D=(-13)^2-4\cdot4\cdot3=169-48=121=11^2
\]
\[
x_{1,2}=\frac{13\pm11}{8}
\]
\[
x_1=3,\qquad x_2=\frac14
\]
Ответ: \(\frac14;\ 3\).
г)
\[
(8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38
\]
Раскрываем скобки:
\[
16x^2-26x+3-(16x^2-8x+1)=38
\]
\[
-18x+2=38
\]
\[
-18x=36
\]
\[
x=-2
\]
Здесь \(x^2\) сократился, уравнение стало линейным — дискриминант не нужен.
Ответ: \(-2\).
д)
\[
\frac13(15x-1)(1+15x)=\frac83
\]
\[
(15x-1)(15x+1)=225x^2-1
\]
\[
\frac{225x^2-1}{3}=\frac83
\]
\[
225x^2-1=8
\]
\[
225x^2-9=0
\]
\[
a=225,\quad b=0,\quad c=-9
\]
\[
D=0^2-4\cdot225\cdot(-9)=8100=90^2
\]
\[
x_{1,2}=\frac{0\pm90}{450}
\]
\[
x_1=\frac15,\qquad x_2=-\frac15
\]
Ответ: \(\pm\frac15\).
е)
\[
(6-x)(x+6)-(x-11)x=36
\]
\[
36-x^2-(x^2-11x)=36
\]
\[
-2x^2+11x=0
\]
Умножим на \(-1\):
\[
2x^2-11x=0
\]
\[
a=2,\quad b=-11,\quad c=0
\]
\[
D=(-11)^2-4\cdot2\cdot0=121=11^2
\]
\[
x_{1,2}=\frac{11\pm11}{4}
\]
\[
x_1=\frac{11}{2},\qquad x_2=0
\]
Ответ: \(0;\ \frac{11}{2}\).
ж)
\[
9x^2-\frac{(12x-11)(3x+8)}{4}=1
\]
Умножаем на \(4\):
\[
36x^2-(12x-11)(3x+8)=4
\]
\[
(12x-11)(3x+8)=36x^2+63x-88
\]
\[
36x^2-(36x^2+63x-88)=4
\]
\[
-63x+88=4
\]
\[
-63x=-84
\]
\[
x=\frac43
\]
Квадратные члены тоже сократились — уравнение линейное.
Ответ: \(\frac43\).
Важно: в пунктах г) и ж) после раскрытия скобок \(x^2\) исчезает, поэтому уравнение становится линейным. Дискриминант там не применяется — это не ошибка.
В №2 по фото задание «определите степень уравнения», а не «решите уравнение». Это не квадратные уравнения, поэтому дискриминант к ним не относится. Если нужно, отдельно объясню, как определять степень.
