Реши 165

№ 165. Дано: \(\angle ADB=\angle ADC\), \(BD=CD\). Доказать: \(AB=AC\).

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \(ADB\) и \(ADC\).

1. \(AD\) — общая сторона.
2. \(BD=CD\) — по условию.
3. \(\angle ADB=\angle ADC\) — по условию, причём эти углы заключены между сторонами \(AD\) и \(BD\), \(AD\) и \(CD\).

Значит, треугольники \(ADB\) и \(ADC\) равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, поэтому:

\[ AB=AC \]

Что нужно понять: здесь достаточно заметить общую сторону \(AD\), равные стороны \(BD=CD\) и равные углы между ними — дальше сразу применяется первый признак равенства треугольников.

№ 167

Дано: отрезки \(AD\) и \(BC\) пересекаются в точке \(O\), причём
\(AO=OD\), \(BO=OC\); \(\angle ABC=64^\circ\), \(\angle ACO=56^\circ\).

Найти: \(\angle ACD\).

Решение:

Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(DOC\).

1. \(AO=OD\) — по условию;
2. \(BO=CO\) — по условию;
3. \(\angle AOB=\angle DOC\) — как вертикальные углы.

Значит, \(\triangle AOB=\triangle DOC\) по двум сторонам и углу между ними.

В равных треугольниках соответственные углы равны, поэтому

\[ \angle ABO=\angle DCO. \]

Так как точка \(O\) лежит на отрезке \(BC\), то

\[ \angle ABO=\angle ABC=64^\circ. \]

Следовательно,

\[ \angle DCO=64^\circ. \]

Луч \(CO\) проходит внутри угла \(ACD\), поэтому

\[ \angle ACD=\angle ACO+\angle OCD. \]

Учитывая, что \(\angle OCD=\angle DCO=64^\circ\), получаем:

\[ \angle ACD=56^\circ+64^\circ=120^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{120^\circ}\).

Рисунок к № 167

Оформляй так: \(AD\) — горизонтальный отрезок, \(BC\) — отрезок, пересекающий его в точке \(O\) (середине каждого из них).

              B
             /|\
            / | \
           /  |  \
          A---O---D
           \  |  /
            \ | /
             \|/
              C

Что подписать на рисунке:

• \(O\) — точка пересечения \(AD\) и \(BC\);
• засечки равенства: \(AO=OD\) (на \(AD\)) и \(BO=OC\) (на \(BC\));
• у вершины \(B\) дуга и надпись \(\angle ABC=64^\circ\);
• у вершины \(C\) дуга и надпись \(\angle ACO=56^\circ\);
• провести отрезки \(AB\), \(BD\), \(DC\), \(CA\) — это стороны четырёхугольника \(ABDC\).

Как построить без «на глаз»:

1. Начерти отрезок \(AD\), отметь его середину \(O\).
2. Через \(O\) проведи любой наклонный (не параллельный \(AD\)) отрезок \(BC\) так, чтобы \(O\) была его серединой: \(BO=OC\).
3. Соедини \(A\) с \(B\), \(B\) с \(D\), \(D\) с \(C\), \(C\) с \(A\).

Почему картинка получается именно такой: из равенства \(\triangle AOB=\triangle DOC\) следует \(AB=DC\) и \(AB\parallel DC\), значит \(ABDC\) — параллелограмм (его диагонали \(AD\) и \(BC\) делятся точкой \(O\) пополам). Поэтому луч \(CO\) проходит внутри угла \(ACD\), и

\[ \angle ACD=\angle ACO+\angle OCD=56^\circ+64^\circ=120^\circ . \]

Да, для № 167 схема правильная: \(A\) слева, \(B\) сверху, \(D\) справа, \(C\) снизу, \(O\) — точка пересечения \(AD\) и \(BC\).

Осталось оформить рисунок:

• поставь засечки: \(AO=OD\) и \(BO=OC\);
• отметь \(\angle ABC=64^\circ\) при вершине \(B\) — между \(BA\) и \(BC\);
• отметь \(\angle ACO=56^\circ\) при вершине \(C\) — между \(CA\) и \(CO\);
• соедини стороны \(AB,\ BD,\ DC,\ CA\).

Не обязательно вычерчивать фигуру как точный ромб: при данных углах \(AD\) и \(BC\) не перпендикулярны. Точнее будет так:

1. Построй \(\triangle ABC\) с углами \(64^\circ\), \(56^\circ\), \(60^\circ\).
2. Отметь \(O\) — середину \(BC\).
3. На луче \(AO\) за точку \(O\) отложи \(OD=OA\).
4. Соедини \(B\) с \(D\) и \(D\) с \(C\).

И ещё: запись сверху про \(\triangle ADC=\triangle ADB\) и \(AB=AC\) относится к № 165. В № 167 доказывается равенство \(\triangle AOB=\triangle DOC\).