Упражнение 14 все номера
Разбираю номера 1–8 упражнения 14. Сопротивление воздуха не учитываем. Если в условии не указано иное, беру \(g=9{,}8\) м/с²; там, где стоит \(g=10\) м/с², считаю с 10.
Краткие ответы
- \(78{,}4\) м (при \(g=10\) — \(80\) м).
- \(0{,}4\) с.
- \(3\) с; за первую секунду \(5\) м, за последнюю — \(25\) м.
- \(24{,}5\) м/с (при \(g=10\) — \(25\) м/с).
- \(\approx 12{,}6\) м (при \(g=10\) — \(12{,}5\) м).
- \(1\) с; перемещение \(4{,}9\) м вверх (при \(g=10\) — \(0{,}98\) с и \(\approx 4{,}8\) м).
- Время полёта \(T=2t_{\text{под}}\).
- \(15\) м/с, направлена вниз.
Ключевые формулы
При свободном падении из состояния покоя:
\[ h=\frac{gt^2}{2},\qquad v=gt,\qquad t=\sqrt{\frac{2h}{g}}. \]
При броске вертикально вверх:
\[ v=v_0-gt,\qquad h=v_0t-\frac{gt^2}{2}, \]
время подъёма:
\[ t_{\text{под}}=\frac{v_0}{g}, \]
высота подъёма:
\[ h_{\text{под}}=\frac{v_0^2}{2g}. \]
Решения по номерам
1. Сосулька падает из состояния покоя за \(t=4\) с.
\[ h=\frac{gt^2}{2}=\frac{9{,}8\cdot 4^2}{2}=78{,}4\ \text{м}. \]
При \(g=10\) м/с² получится \(80\) м. Это пример того, что путь при падении растёт не линейно, а как \(t^2\).
2. Высота \(80\) см \(=0{,}8\) м, \(g=10\) м/с².
\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} =\sqrt{\frac{2\cdot0{,}8}{10}} =\sqrt{0{,}16}=0{,}4\ \text{с}. \]
Проверка: за \(0{,}4\) с тело пролетит \(\frac{10\cdot0{,}4^2}{2}=0{,}8\) м.
3. Высота \(45\) м, \(g=10\) м/с².
Время падения:
\[ t=\sqrt{\frac{2\cdot45}{10}}=\sqrt{9}=3\ \text{с}. \]
Путь за первую секунду:
\[ s_1=\frac{10\cdot1^2}{2}=5\ \text{м}. \]
За последнюю, третью, секунду — это разность путей за 3 с и за 2 с:
\[ s_{\text{посл}}=s(3)-s(2) =\frac{10\cdot3^2}{2}-\frac{10\cdot2^2}{2} =45-20=25\ \text{м}. \]
Проверка: за секунды пути \(5\), \(15\), \(25\) м, в сумме \(45\) м.
4. Камень падал \(2{,}5\) с из состояния покоя.
\[ v=gt=9{,}8\cdot2{,}5=24{,}5\ \text{м/с}. \]
При \(g=10\) м/с²: \(v=25\) м/с. Скорость направлена вниз.
5. Камень брошен с высоты \(10\) м вверх со скоростью \(5\) м/с. Сначала найдём, на сколько он поднимется выше точки броска:
\[ h_1=\frac{v_0^2}{2g}. \]
При \(g=9{,}8\):
\[ h_1=\frac{25}{19{,}6}\approx1{,}28\ \text{м}. \]
То есть максимальная высота над землёй:
\[ 10+1{,}28=11{,}28\ \text{м}. \]
Вверх камень прошёл \(1{,}28\) м, вниз — \(11{,}28\) м. Весь путь:
\[ S=1{,}28+11{,}28\approx12{,}6\ \text{м}. \]
При \(g=10\) м/с²: \(h_1=1{,}25\) м, тогда
\[ S=1{,}25+11{,}25=12{,}5\ \text{м}. \]
Важно: перемещение камня равно \(10\) м вниз, а путь больше, потому что он сначала летел вверх.
6. Мяч брошен вверх со скоростью \(v_0=9{,}8\) м/с. В верхней точке скорость равна нулю:
\[ 0=v_0-gt. \]
Значит,
\[ t=\frac{v_0}{g}=\frac{9{,}8}{9{,}8}=1\ \text{с}. \]
Перемещение за это время:
\[ s=\frac{v_0^2}{2g} =\frac{9{,}8^2}{2\cdot9{,}8} =4{,}9\ \text{м}. \]
При \(g=10\) м/с²: \(t=0{,}98\) с, \(s\approx4{,}8\) м.
В верхней точке скорость действительно нулевая, но ускорение свободного падения \(g\) остаётся направленным вниз.
7. Пусть начальная скорость тела \(v_0\). Время подъёма:
\[ t_{\text{под}}=\frac{v_0}{g}, \]
потому что в верхней точке скорость становится нулевой.
Высота подъёма:
\[ h_{\max}=\frac{v_0^2}{2g}. \]
Теперь тело падает с этой высоты из состояния покоя. Время падения:
\[ t_{\text{пад}}=\sqrt{\frac{2h_{\max}}{g}} =\sqrt{\frac{2\cdot \frac{v_0^2}{2g}}{g}} =\sqrt{\frac{v_0^2}{g^2}} =\frac{v_0}{g}. \]
Получаем:
\[ t_{\text{пад}}=t_{\text{под}}. \]
Полное время полёта:
\[ T=t_{\text{под}}+t_{\text{пад}}=2t_{\text{под}}. \]
То есть время полёта действительно вдвое больше времени подъёма.
8. При возвращении в точку броска скорость тела по модулю равна начальной, но направлена противоположно — вниз.
Это можно проверить формулой. Полное время полёта:
\[ T=\frac{2v_0}{g}. \]
Тогда скорость при возврате:
\[ v=v_0-gT =v_0-g\cdot\frac{2v_0}{g} =v_0-2v_0=-v_0. \]
Знак «минус» означает, что скорость направлена вниз. Модуль скорости:
\[ |v|=15\ \text{м/с}. \]
Ответ: \(15\) м/с, направлена вниз.
Что запомнить: при движении без сопротивления воздуха бросок вверх симметричен: сколько времени тело поднимается, столько же падает обратно. А путь и перемещение — разные величины, если тело меняло направление движения.
Обсуждение
2 сообщенияТак распиши пожалуйста с 7 номера 7 8 номер полноценно прям формулу пишешь из этой формулы ты получила такую то формулу ииз этой формулы такую ты вот так вот мне напиши
Хорошо, распишу № 7 и № 8 цепочкой: формула → из неё получаем следующую → из неё следующую. Каждый переход буду проговаривать.
№ 7. Доказать, что время полёта вдвое больше времени подъёма
Что дано: тело брошено вертикально вверх со скоростью \(v_0\). Ось \(OY\) направлена вверх, сопротивления воздуха нет.
Шаг 1. Берём уравнение скорости для равноускоренного движения:
\[ v=v_0-gt. \]
Оно получается из \(v=v_0+a t\), только ускорение направлено вниз, поэтому \(a=-g\).
Шаг 2. В верхней точке тело на мгновение останавливается, значит \(v=0\). Подставляем это в формулу шага 1:
\[ 0=v_0-g\,t_{\text{под}}. \]
Шаг 3. Из этого уравнения выражаем время подъёма — переносим \(g\,t_{\text{под}}\) влево и делим на \(g\):
\[ t_{\text{под}}=\frac{v_0}{g}. \]
Шаг 4. Теперь нужна высота подъёма. Берём уравнение координаты:
\[ h=v_0t-\frac{gt^2}{2}. \]
Оно получается из \(h=v_0t+\frac{at^2}{2}\) при \(a=-g\).
Шаг 5. Подставляем в него \(t=t_{\text{под}}=\frac{v_0}{g}\) — это момент, когда тело наверху:
\[ h_{\max}=v_0\cdot\frac{v_0}{g}-\frac{g}{2}\cdot\left(\frac{v_0}{g}\right)^2. \]
Раскрываем квадрат и сокращаем:
\[ h_{\max}=\frac{v_0^2}{g}-\frac{v_0^2}{2g}=\frac{v_0^2}{2g}. \]
Шаг 6. Дальше тело падает с этой высоты без начальной скорости. Для падения из состояния покоя есть формула
\[ h=\frac{gt^2}{2}. \]
Она получается из той же \(h=v_0t+\frac{at^2}{2}\), если \(v_0=0\) и \(a=g\).
Шаг 7. Подставляем в неё \(h=h_{\max}\) и выражаем время падения:
\[ h_{\max}=\frac{g\,t_{\text{пад}}^2}{2}\;\Rightarrow\; t_{\text{пад}}^2=\frac{2h_{\max}}{g}\;\Rightarrow\; t_{\text{пад}}=\sqrt{\frac{2h_{\max}}{g}}. \]
Шаг 8. Подставляем сюда \(h_{\max}=\frac{v_0^2}{2g}\) из шага 5:
\[ t_{\text{пад}}=\sqrt{\frac{2}{g}\cdot\frac{v_0^2}{2g}}=\sqrt{\frac{v_0^2}{g^2}}=\frac{v_0}{g}. \]
Двойка и \(g\) сократились, корень из квадрата даёт \(v_0/g\).
Шаг 9. Сравниваем шаг 3 и шаг 8:
\[ t_{\text{пад}}=\frac{v_0}{g}=t_{\text{под}}. \]
Времена равны. Значит полное время полёта:
\[ T=t_{\text{под}}+t_{\text{пад}}=2t_{\text{под}}=\frac{2v_0}{g}. \]
Проверка другим способом. В момент возврата \(h=0\), подставляем в уравнение координаты:
\[ 0=v_0T-\frac{gT^2}{2}. \]
Выносим \(T\):
\[ T\left(v_0-\frac{gT}{2}\right)=0. \]
Один корень \(T=0\) — это момент броска. Второй берём из скобки:
\[ v_0-\frac{gT}{2}=0\;\Rightarrow\;T=\frac{2v_0}{g}. \]
Получилось то же самое, значит вывод верный.
№ 8. Тело брошено вверх со скоростью 15 м/с. Найти скорость при возврате в точку броска
Что дано: \(v_0=15\) м/с, бросок вертикально вверх. Найти \(v\) в момент, когда тело снова окажется в точке броска.
Шаг 1. Уравнение скорости то же, что в № 7:
\[ v=v_0-gt. \]
Шаг 2. Нужно узнать, в какой момент тело вернётся в точку броска. Это значит \(h=0\). Берём уравнение координаты:
\[ h=v_0t-\frac{gt^2}{2} \]
и подставляем \(h=0\):
\[ 0=v_0t-\frac{gt^2}{2}. \]
Шаг 3. Выносим \(t\) за скобку:
\[ t\left(v_0-\frac{gt}{2}\right)=0. \]
Шаг 4. Первый корень \(t=0\) — момент броска, он не подходит. Из скобки получаем время полёта:
\[ v_0-\frac{gt}{2}=0\;\Rightarrow\;\frac{gt}{2}=v_0\;\Rightarrow\;T=\frac{2v_0}{g}. \]
Это тот же результат, что в № 7, — время полёта вдвое больше времени подъёма.
Шаг 5. Подставляем это \(T\) в уравнение скорости из шага 1:
\[ v=v_0-g\cdot\frac{2v_0}{g}. \]
Шаг 6. \(g\) сокращается:
\[ v=v_0-2v_0=-v_0. \]
Шаг 7. Разбираем знак. Минус означает, что проекция скорости отрицательна, то есть скорость направлена вниз. Модуль:
\[ |v|=v_0=15\ \text{м/с}. \]
Числовая проверка. Время полёта при \(g=9{,}8\) м/с²:
\[ T=\frac{2\cdot15}{9{,}8}\approx3{,}06\ \text{с}. \]
Скорость в этот момент:
\[ v=15-9{,}8\cdot3{,}06\approx15-30=-15\ \text{м/с}. \]
При \(g=10\) м/с²: \(T=3\) с, \(v=15-10\cdot3=-15\) м/с. Совпадает.
Проверка через энергию. Кинетическая энергия при броске \(\frac{mv_0^2}{2}\), на возврате в ту же точку потенциальная энергия такая же, значит и кинетическая такая же:
\[ \frac{mv^2}{2}=\frac{mv_0^2}{2}\;\Rightarrow\;|v|=v_0=15\ \text{м/с}. \]
Энергия не даёт направления, поэтому знак мы берём из шага 6 — вниз.
Ответ к № 8: \(15\) м/с, направлена вертикально вниз.
Общая логика обоих номеров: сначала из уравнения скорости \(v=v_0-gt\) находим характерные моменты времени, потом подставляем их обратно в то же уравнение. В № 7 так сравниваются времена подъёма и падения, в № 8 — находится скорость при возврате.
