Номер 2
Краткий ответ. Вершины искомого треугольника — это середины трёх дуг между данными точками:
- \(A\) — середина дуги \(B_1C_1\), не содержащей \(A_1\);
- \(B\) — середина дуги \(C_1A_1\), не содержащей \(B_1\);
- \(C\) — середина дуги \(A_1B_1\), не содержащей \(C_1\).
Построение
- Построй окружность \(\omega\) через точки \(A_1,B_1,C_1\). Это и есть описанная окружность искомого треугольника.
- Чтобы построить \(A\), раздели пополам нужную дугу \(B_1C_1\): проведи серединный перпендикуляр к хорде \(B_1C_1\). Он пересечёт окружность в двух серединах дуг; выбери ту, которая лежит на дуге, не проходящей через \(A_1\).
- Аналогично построй \(B\) и \(C\).
- Соедини \(A,B,C\). Получен треугольник \(ABC\).
Почему это работает
Пусть дуги \(B_1C_1\), \(C_1A_1\), \(A_1B_1\), не содержащие соответственно \(A_1,B_1,C_1\), имеют меры \(2x,2y,2z\). Тогда \[ x+y+z=180^\circ. \]
Так как \(B\) — середина дуги \(C_1A_1\), то дуга \(BA_1\) равна \(y\). Значит по теореме о вписанном угле \[ \angle BAA_1=\frac y2. \]
Угол \(\angle ABC\) опирается на дугу \(AC\), не содержащую \(B\); её величина равна \(x+z\), поэтому \[ \angle ABC=\frac{x+z}{2} =\frac{180^\circ-y}{2} =90^\circ-\frac y2. \]
Следовательно, \[ \angle BAA_1+\angle ABC=90^\circ, \] а значит, \(AA_1\perp BC\). То есть \(AA_1\) — высота.
Аналогично доказывается, что \[ BB_1\perp AC,\qquad CC_1\perp AB. \]
Проверка: после построения прямые \(AA_1,BB_1,CC_1\) должны быть перпендикулярами соответственно к \(BC,CA,AB\). Если какой-то перпендикуляр не получился, для соответствующей вершины взята середина не той дуги.
