Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).
Как решить
Уравнение имеет вид:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Можно разложить на множители. Ищем два числа, которые:
- умножаются на \(6\);
- в сумме дают \(5\).
Это \(2\) и \(3\), потому что:
\[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5 \]
Значит:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Получаем:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3 \]
Проверка
Для \(x=2\):
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
Для \(x=3\):
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Принцип: для уравнения \(x^2+px+q=0\) можно искать два числа, сумма которых равна \(-p\), а произведение — \(q\). Если они найдены, корни уравнения — эти числа.
Обсуждение
2 сообщенияПопробуй решить x²−7x+10=0
Ответ: \(x_1=2,\; x_2=5\).
Как решить
\[ x^2-7x+10=0 \]
Ищем два числа, которые:
- в произведении дают \(10\);
- в сумме дают \(7\).
Это \(2\) и \(5\):
\[ 2\cdot 5=10,\qquad 2+5=7 \]
Значит:
\[ x^2-7x+10=(x-2)(x-5) \]
Тогда:
\[ (x-2)(x-5)=0 \]
Отсюда:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-5=0 \]
\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=5 \]
Проверка
Для \(x=2\):
\[ 2^2-7\cdot2+10=4-14+10=0 \]
Для \(x=5\):
\[ 5^2-7\cdot5+10=25-35+10=0 \]
Оба корня подходят.
Тот же принцип, что и в прошлом уравнении: для \(x^2+px+q=0\) подбираем два числа с суммой \(-p\) и произведением \(q\) — они и будут корнями. Можно проверить себя через теорему Виета: \(x_1+x_2=7\), \(x_1x_2=10\).
