Сумма положительных чисел a и b равна 46.При каких значениях a и b произведение будет наибольшим
Краткий ответ: \(a=b=23\), наибольшее произведение равно \(529\).
Как понять принцип:
Так как \(a+b=46\), выразим \(b\): \[ b=46-a. \]
Тогда произведение: \[ P=a\cdot b=a(46-a)=46a-a^2. \]
Это квадратичная функция, её график — парабола ветвями вниз. Выделим полный квадрат: \[ P=-(a^2-46a)=-\bigl((a-23)^2-529\bigr)=529-(a-23)^2. \]
Квадрат \((a-23)^2\) неотрицателен, поэтому \[ P\le 529. \] Равенство достигается, когда \[ a-23=0 \quad\Rightarrow\quad a=23. \]
Тогда \[ b=46-23=23. \]
Проверка: \[ a\cdot b=23\cdot 23=529. \]
Правило: при постоянной сумме положительных чисел их произведение наибольшее, когда числа равны. Это же следует из неравенства: \[ ab\le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2=23^2=529. \]
Обсуждение
2 сообщенияА что изменится, если сумма равна 55
Изменится только «половина суммы»: при \(a+b=55\) наибольшее произведение достигается при равных числах.
Так как \[ a+b=55, \] то \[ b=55-a. \] Тогда \[ P=a(55-a)=55a-a^2. \] Выделим полный квадрат: \[ P=-(a^2-55a) = -\left(\left(a-\frac{55}{2}\right)^2-\left(\frac{55}{2}\right)^2\right) \] \[ P=\frac{3025}{4}-\left(a-\frac{55}{2}\right)^2. \] Максимум будет при \[ a-\frac{55}{2}=0, \] то есть \[ a=\frac{55}{2}=27{,}5. \] Тогда \[ b=55-27{,}5=27{,}5. \]
Ответ:
\[
a=b=27{,}5,
\]
а наибольшее произведение:
\[
27{,}5\cdot 27{,}5=756{,}25.
\]
Если числа должны быть целыми, то берём ближайшие к \(27{,}5\) целые числа: \[ a=27,\quad b=28 \] (или наоборот). Тогда \[ 27\cdot 28=756. \]
То есть правило то же: при постоянной сумме произведение наибольшее, когда числа как можно ближе друг к другу, а если ограничений на целость нет — когда они равны.
