номер 102
Краткий ответ
\[ y=-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9. \]
График — парабола, ветви направлены вниз. Вершина: \((1;9)\), ось симметрии \(x=1\). Нули функции: \(x=-2\) и \(x=4\).
а) Значения функции:
\[ y(2{,}5)=-(2{,}5)^2+2\cdot2{,}5+8=6{,}75; \] \[ y(-0{,}5)=-(-0{,}5)^2+2\cdot(-0{,}5)+8=6{,}75; \] \[ y(-3)=-(-3)^2+2\cdot(-3)+8=-7. \]
Ответ: \(6{,}75;\ 6{,}75;\ -7\).
б) Значения аргумента:
\(y=6\): \[ -x^2+2x+8=6 \Rightarrow x=1\pm\sqrt3 \approx -0{,}73;\ 2{,}73. \]
\(y=0\): \[ -x^2+2x+8=0 \Rightarrow x=-2;\ 4. \]
\(y=-2\): \[ -x^2+2x+8=-2 \Rightarrow x=1\pm\sqrt{11}\approx -2{,}32;\ 4{,}32. \]
в) Нули и знаки функции:
Нули: \(x=-2\), \(x=4\).
\[ y>0 \text{ при } x\in(-2;4); \] \[ y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty). \]
г) Возрастание, убывание, область значений:
Функция возрастает на \((-\infty;1]\), убывает на \([1;+\infty)\).
Максимальное значение \(y_{\max}=9\), поэтому область значений: \[ E(y)=(-\infty;9]. \]
Как это понять
Выделяем полный квадрат: \[ -x^2+2x+8=-(x^2-2x)+8=-((x-1)^2-1)+8=-(x-1)^2+9. \] Отсюда сразу видно вершину \((1;9)\): это сдвиг параболы \(y=-x^2\) вправо на \(1\) и вверх на \(9\).
Чтобы построить график, можно взять точки: \[ (-2;0),\ (0;8),\ (1;9),\ (2;8),\ (4;0) \] и провести через них плавную кривую вниз ветвями. Парабола симметрична относительно прямой \(x=1\).
Значения функции при данном \(x\) — это высота точки графика. Значения аргумента при данном \(y\) — это пересечения графика с горизонтальной прямой \(y=\text{число}\).
Знаки \(y>0\) и \(y<0\) определяются тем, выше или ниже оси \(Ox\) находится график. Поэтому между корнями \(-2\) и \(4\) график выше оси, а вне этого промежутка — ниже.
