Реферат дисперсия числового набора
Краткий ответ (для реферата)
Дисперсия числового набора — это среднее арифметическое квадратов отклонений всех значений от их среднего арифметического. Она показывает, насколько числа «разбросаны» вокруг среднего:
$$D=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$
где $\bar{x}$ — среднее арифметическое набора, $n$ — количество чисел. Дисперсия всегда неотрицательна, а корень из неё $\sigma=\sqrt{D}$ называют средним квадратичным отклонением.
План реферата
- Зачем нужна характеристика разброса.
- Определение дисперсии.
- Алгоритм вычисления.
- Разобранный пример.
- Свойства дисперсии.
- Среднее квадратичное отклонение и смысл величины.
- Применение. Вывод.
1. Зачем нужна дисперсия
Среднее арифметическое описывает набор одним числом, но не говорит, насколько числа отличаются друг от друга. Сравним два набора:
- A: $3,\ 3,\ 5,\ 5$ — среднее $4$, все числа рядом с ним;
- B: $1,\ 1,\ 7,\ 7$ — среднее тоже $4$, но числа далеко от него.
Средние одинаковые, а наборы разные. Значит, нужна величина, измеряющая разброс.
2. Определение
Дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего арифметического.
Почему именно квадраты? Отклонения $x_i-\bar{x}$ бывают и положительными, и отрицательными; если их просто сложить, сумма всегда даст $0$, и вся информация о разбросе пропадёт. Квадраты убирают знак и заодно сильнее «наказывают» большие отклонения.
3. Алгоритм вычисления (5 шагов)
- Найти среднее арифметическое $\bar{x}$.
- Для каждого числа найти отклонение $x_i-\bar{x}$.
- Возвести каждое отклонение в квадрат.
- Сложить все квадраты.
- Разделить сумму на количество чисел $n$.
4. Пример
Набор: $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$.
Шаг 1: $\bar{x}=\dfrac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8}=\dfrac{40}{8}=5$.
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
Сумма квадратов: $9+1+1+1+0+0+4+16=32$.
$$D=\frac{32}{8}=4,\qquad \sigma=\sqrt{4}=2.$$
Проверка вторым способом (полезно как контроль): $D=\dfrac{1}{n}\sum x_i^2-\bar{x}^2$.
$$\sum x_i^2=4+16+16+16+25+25+49+81=232,\quad \frac{232}{8}=29,\quad 29-25=4.$$
Совпало — значит, счёт верный.
5. Свойства дисперсии
- $D\ge 0$; $D=0$ только тогда, когда все числа набора равны.
- Если ко всем значениям прибавить одно и то же число $c$, дисперсия не изменится (набор просто сдвигается, разброс тот же).
- Если все значения умножить на $k$, дисперсия увеличится в $k^2$ раз.
- Есть удобная формула $D=\overline{x^2}-(\bar{x})^2$ — «среднее квадратов минус квадрат среднего».
- Дисперсия измеряется в квадратных единицах, поэтому для сравнения с самими числами берут $\sigma=\sqrt{D}$ — оно в тех же единицах, что и данные.
6. Смысл величины
Дисперсия — числовая мера разброса: чем она больше, тем сильнее значения отличаются от среднего. В наборах A и B выше: $D_A=1$, $D_B=9$ — при одинаковом среднем второй набор «растянут» втрое сильнее по отклонению.
7. Применение и вывод
Дисперсию используют для сравнения стабильности: точность измерений и приборов, разброс оценок в классе, колебания температуры, риск в экономике, стабильность результатов спортсмена. Вывод реферата: среднее арифметическое отвечает на вопрос «какое типичное значение», а дисперсия — «насколько значения отличаются от типичного»; вместе они дают полное описание числового набора.
Примечание: в школьных задачах сумму квадратов делят на $n$. В статистике при работе с выборкой иногда делят на $n-1$ — это даёт немного другое число, но принцип тот же.
