Реши задание на изображении
Краткий ответ
а) \(\displaystyle \frac{3x}{2y}\), \(x\ne0,\ y\ne0\);
б) \(\displaystyle \frac{5}{y-2}\), \(y\ne0,\ y\ne2\).\(\displaystyle \frac{3a-2}{2a(9a^2-1)}\),
\(a\ne0,\ a\ne\pm\frac13\).\(-40\).
\(\displaystyle \frac{16}{x(x^2-16)}\),
\(x\ne0,\ x\ne\pm4\).
Как это получилось
1. Сокращение дробей
а) \[ \frac{39x^3y}{26x^2y^2} =\frac{39}{26}\cdot \frac{x^3}{x^2}\cdot \frac{y}{y^2} =\frac32\cdot x\cdot \frac1y =\frac{3x}{2y}. \] При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(x^3:x^2=x\), \(y:y^2=\frac1y\).
б) Разложим знаменатель на множители: \[ \frac{5y}{y^2-2y} =\frac{5y}{y(y-2)} =\frac5{y-2}. \] Множитель \(y\) сокращается, но \(y\ne0\), иначе исходная дробь не имеет смысла.
2. Представить в виде дроби
Сначала приведём выражение в скобках к общему знаменателю \(2a^2\): \[ \frac{3-2a}{2a}-\frac{1-a^2}{a^2} = \frac{a(3-2a)-2(1-a^2)}{2a^2}. \] Раскрываем числитель: \[ 3a-2a^2-2+2a^2=3a-2. \] Значит, \[ \frac{3-2a}{2a}-\frac{1-a^2}{a^2} =\frac{3a-2}{2a^2}. \] Теперь умножаем: \[ \frac{3a-2}{2a^2}\cdot \frac{a}{9a^2-1} = \frac{3a-2}{2a(9a^2-1)}. \] Можно ещё записать знаменатель разложенным: \[ 9a^2-1=(3a-1)(3a+1). \]
3. Значение выражения
Упростим сначала: \[ \frac{x-6y^2}{2y}+3y = \frac{x}{2y}-\frac{6y^2}{2y}+3y. \] Так как \(\frac{6y^2}{2y}=3y\), получаем: \[ \frac{x}{2y}-3y+3y=\frac{x}{2y}. \] Подставляем \(x=-8,\ y=0{,}1\): \[ \frac{-8}{2\cdot0{,}1} = \frac{-8}{0{,}2} =-40. \]
4. Упростить выражение
Используем формулу разности квадратов: \[ x^2-16=(x-4)(x+4). \] Сначала сложим первые две дроби: \[ \frac2{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16} = \frac{2(x+4)-(x+8)}{(x-4)(x+4)}. \] Раскрываем числитель: \[ 2x+8-x-8=x. \] Поэтому \[ \frac2{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16} = \frac{x}{x^2-16}. \] Теперь вычитаем \(\frac1x\): \[ \frac{x}{x^2-16}-\frac1x = \frac{x^2-(x^2-16)}{x(x^2-16)} = \frac{16}{x(x^2-16)}. \]
Проверка: при \(x=5\) исходное выражение равно \[ 2-\frac{13}{9}-\frac15=\frac{16}{45}, \] и упрощённое: \[ \frac{16}{5(25-16)}=\frac{16}{45}. \] Всё сходится.
