Запиши два взаимопростых числа

Да, 35 и 36 взаимно просты: \(\gcd(35,36)=1\).

Проверка:

• \(35 = 5 \cdot 7\)
• \(36 = 2^2 \cdot 3^2\)

Общих простых делителей нет, поэтому НОД равен \(1\).

Можно вспомнить правило: два соседних натуральных числа всегда взаимно просты. Если бы у \(35\) и \(36\) был общий делитель \(d>1\), то он делил бы и их разность \(36-35=1\), что невозможно.

Разложим числа на простые множители:

\[ 32=2^5,\qquad 48=2^4\cdot 3,\qquad 64=2^6 \]

НОД — берём общие множители с наименьшими степенями:

\[ \mathrm{НОД}(32,48,64)=2^4=16 \]

НОК — берём все простые множители с наибольшими степенями:

\[ \mathrm{НОК}(32,48,64)=2^6\cdot 3=64\cdot 3=192 \]

Ответ:
\[ \boxed{\mathrm{НОД}=16,\qquad \mathrm{НОК}=192} \]

Проверка: 192 делится на 32, 48 и 64 без остатка; меньшего общего кратного у этих чисел нет.

Разберём подробно.

1. Раскладываем числа на простые множители

\[ 32=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^5 \]

\[ 48=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3=2^4\cdot3 \]

\[ 64=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^6 \]

То есть у нас есть только простые множители \(2\) и \(3\):

• в числе \(32\) — только \(2\);
• в числе \(48\) — \(2\) и \(3\);
• в числе \(64\) — только \(2\).

---

2. Находим НОД

НОД — наибольший общий делитель. Это наибольшее число, на которое делятся все три числа без остатка.

При разложении на простые множители НОД находится так:

берём только те простые множители, которые есть у всех чисел, причём каждый — в наименьшей степени.

Общий простой множитель у всех трёх чисел только один — это \(2\). Степени двойки:

\[ 32=2^5,\qquad 48=2^4,\qquad 64=2^6 \]

Наименьшая степень — \(2^4\). Значит:

\[ \text{НОД}(32,48,64)=2^4=16 \]

Проверим:

• \(32:16=2\);
• \(48:16=3\);
• \(64:16=4\).

Все деления проходят без остатка, поэтому \(16\) — общий делитель. Больше не может быть, потому что среди степеней двойки наименьшая — \(2^4\), а других общих множителей нет.

Ответ для НОД: \[ \boxed{16} \]

---

3. Находим НОК

НОК — наименьшее общее кратное. Это наименьшее число, которое делится на каждое из чисел \(32\), \(48\) и \(64\).

Правило:

берём все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном числе, причём каждый — в наибольшей степени.

У чисел встречаются множители \(2\) и \(3\). Наибольшая степень:

• для \(2\): \(\max(5,4,6)=6\), то есть \(2^6\);
• для \(3\): она есть только в \(48\), значит \(3^1\).

Получаем:

\[ \text{НОК}(32,48,64)=2^6\cdot3 \]

\[ 2^6=64,\qquad 64\cdot3=192 \]

Значит:

\[ \boxed{\text{НОК}(32,48,64)=192} \]

---

4. Проверка НОК

Проверим, делится ли \(192\) на все числа:

\[ 192:32=6 \]

\[ 192:48=4 \]

\[ 192:64=3 \]

Везде получается целое число. Теперь убедимся, что меньшее общее кратное невозможно.

Кратные числу \(64\) идут так:

\[ 64,\ 128,\ 192,\ 256,\ldots \]

• \(64\) не делится на \(48\);
• \(128\) не делится на \(48\);
• \(192\) делится на \(48\) и на \(32\).

Поэтому 192 — наименьшее общее кратное.

---

\[ \boxed{\text{НОД}=16,\qquad \text{НОК}=192} \]

Главное правило:

• для НОД берём общие множители с наименьшими степенями;
• для НОК берём все множители с наибольшими степенями.

Например, возьмём числа:

\[ \boxed{22,\ 33,\ 55} \]

Проверка:

\[ 22=2\cdot 11,\qquad 33=3\cdot 11,\qquad 55=5\cdot 11 \]

Все три числа делятся на \(11\), поэтому \(11\) — их общий делитель.

После деления на \(11\) получаются числа \(2,\ 3,\ 5\). У них нет общего делителя, кроме \(1\), значит, большего общего делителя, чем \(11\), у исходных чисел быть не может.

\[ \boxed{\text{НОД}(22,33,55)=11} \]

Можно было взять и другие числа, например \(11,\ 22,\ 33\) — их НОД тоже равен \(11\).