Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).
Как решать
Уравнение \(x^2-5x+6=0\) — обычное квадратное уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\), где
\(a=1,\ b=-5,\ c=6\).
Способ 1. Через дискриминант
\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]
Так как \(D>0\), корней два:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{5\pm1}{2} \]
\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]
Способ 2. Разложение на множители
Нужно найти два числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении — \(6\). Это \(2\) и \(3\):
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Значит:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \] \[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \]
Проверка
Для \(x=2\):
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
Для \(x=3\):
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Принцип: квадратное уравнение можно решать через дискриминант; если корни легко подобрать по теореме Виета или разложить на множители, это быстрее.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Понял — давай разберём именно этот момент.
1. Что вообще такое \(x\)
\(x\) — это неизвестное число, которое мы ищем. Уравнение \(x^2-5x+6=0\) — это вопрос: «какое число, если подставить его вместо \(x\), даст в итоге ноль?» Ответ мы нашли: \(2\) и \(3\). А пока мы решаем, \(x\) просто обозначает «пока неизвестное число», и с ним можно делать то же самое, что с числами: складывать, умножать, выносить за скобки.
2. Откуда взялось \((x-2)(x-3)\)
Мы не «придумали» \(x\) — он был в уравнении с самого начала. Идея такая: записать \(x^2-5x+6\) в виде произведения двух скобок. Проверим, что это действительно то же самое, просто раскроем скобки.
Сначала раскроем так: \((x-2)(x-3)=x(x-3)-2(x-3)\).
- \(x(x-3)=x\cdot x-x\cdot3=x^2-3x\)
- \(2(x-3)=2x-6\)
Теперь собираем:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
Получили ровно левую часть нашего уравнения. Значит, запись \((x-2)(x-3)\) — это та же самая левая часть, только в виде произведения. Ничего не потерялось и не добавилось.
3. Почему взяли именно 2 и 3
Если раскрыть общий случай \((x-p)(x-q)\), получится:
\[ x^2-(p+q)x+pq \]
Сравни с \(x^2-5x+6\):
- \(p+q=5\) (число перед \(x\), только с минусом)
- \(p\cdot q=6\) (свободный член)
Подходят \(p=2,\ q=3\): \(2+3=5\), \(2\cdot3=6\). Поэтому \((x-2)(x-3)\).
4. Почему ответ — это 2 и 3
Уравнение теперь выглядит так:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
То есть произведение двух чисел равно нулю. А произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель — ноль. Значит, либо
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \]
либо
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Оба числа — ответы, и мы это проверили подстановкой.
Коротко: \(x\) был в уравнении изначально; скобки \((x-2)(x-3)\) — это просто другой способ записать \(x^2-5x+6\), что проверяется раскрытием скобок. Хочешь, разберём похожий пример, например \(x^2-7x+12=0\), чтобы закрепить?
