Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$$x_1 = 2,\qquad x_2 = 3$$

Как это получается

Способ 1. По теореме Виета (уравнение приведённое: коэффициент при $x^2$ равен 1).

Для $x^2 + px + q = 0$: $$x_1 + x_2 = -p = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = q = 6$$

Ищем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3: $$2 + 3 = 5,\qquad 2 \cdot 3 = 6$$

Значит, корни 2 и 3. Отсюда и разложение на множители: $$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$$

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда, даже когда корни не целые):

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}$$

$$x_1 = \frac{5-1}{2} = 2,\qquad x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$$

Проверка

$$2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \ ✓$$ $$3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \ ✓$$

Принцип, который стоит запомнить

1. Если уравнение приведённое ($a = 1$) и корни «красивые» — быстрее всего подобрать их по Виету: сумма = $-p$, произведение = $q$.
2. Если подбор не идёт или коэффициенты дробные — считай дискриминант: $D > 0$ — два корня, $D = 0$ — один, $D < 0$ — корней нет.
3. Всегда подставляй найденные корни обратно — это ловит почти все ошибки.

Похожее задание для тренировки: $x^2 - 7x + 12 = 0$ (подсказка: сумма 7, произведение 12).