Номер 221

Краткий ответ

Принцип метода новой переменной

1. Найди в уравнении повторяющийся блок и обозначь его новой буквой (\(t\), \(u\), \(y\), \(z\)).
2. Получится простое уравнение (обычно квадратное) — реши его относительно новой переменной.
3. Вернись к старой переменной: подставь найденные значения в своё обозначение и реши получившиеся уравнения.
4. Отбрось лишнее: корни, при которых выражение не может принимать такое значение, или уравнения без действительных корней.

а) \((2x^2+3)^2-12(2x^2+3)+11=0\)

Обозначим \(t=2x^2+3\). Тогда:

\[ t^2-12t+11=0 \;\Longrightarrow\; (t-1)(t-11)=0 \;\Longrightarrow\; t=1 \text{ или } t=11. \]

• \(t=1\): \(2x^2+3=1 \Rightarrow 2x^2=-2\) — действительных корней нет (ведь \(2x^2+3\ge 3\)).
• \(t=11\): \(2x^2+3=11 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2\).

Проверка: при \(x=2\) блок равен \(11\), и \(121-132+11=0\). ✔

б) \((t^2-2t)^2-3=2(t^2-2t)\)

Обозначим \(u=t^2-2t\). Тогда \(u^2-2u-3=0\):

\[ (u-3)(u+1)=0 \;\Longrightarrow\; u=3 \text{ или } u=-1. \]

• \(u=3\): \(t^2-2t-3=0 \Rightarrow (t-3)(t+1)=0 \Rightarrow t=3,\; t=-1\);
• \(u=-1\): \(t^2-2t+1=0 \Rightarrow (t-1)^2=0 \Rightarrow t=1\).

Проверка: при \(t=1\) блок равен \(-1\), и \((-1)^2-3=-2=2\cdot(-1)\). ✔

в) \((x^2+x-1)(x^2+x+2)=40\)

Обозначим \(y=x^2+x\). Тогда \((y-1)(y+2)=40\):

\[ y^2+y-2=40 \;\Longrightarrow\; y^2+y-42=0 \;\Longrightarrow\; (y+7)(y-6)=0. \]

• \(y=6\): \(x^2+x-6=0 \Rightarrow (x+3)(x-2)=0 \Rightarrow x=-3;\; x=2\);
• \(y=-7\): \(x^2+x+7=0\), \(D=1-28=-27<0\) — корней нет.

Проверка: при \(x=2\): \((4+2-1)(4+2+2)=5\cdot 8=40\). ✔

г) \((2x^2+x-1)(2x^2+x-4)+2=0\)

Обозначим \(z=2x^2+x\). Тогда:

\[ (z-1)(z-4)+2=0 \;\Longrightarrow\; z^2-5z+6=0 \;\Longrightarrow\; (z-2)(z-3)=0. \]

• \(z=2\): \(2x^2+x-2=0\), \(D=1+16=17\), \(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{4}\);
• \(z=3\): \(2x^2+x-3=0\), \(D=1+24=25\), \(x=\dfrac{-1\pm 5}{4}\), то есть \(x=1\) и \(x=-\dfrac32\).

Проверка: при \(x=1\): \((2+1-1)(2+1-4)+2=2\cdot(-1)+2=0\). ✔

Что запомнить для похожего задания

• Новая переменная — это вся повторяющаяся часть, а не отдельное слагаемое.
• Если в скобках стоят похожие выражения, бери за новую переменную их «общую часть» (например, \(x^2+x\) или \(2x^2+x\)).
• После обратной замены обязательно решай каждое получившееся уравнение и проверяй, есть ли у него действительные корни (дискриминант, знак квадрата).