Реши номер 221

Краткий ответ: а) \(x=\pm2\);
б) \(t=-1,\ 1,\ 3\);
в) \(x=-3,\ 2\);
г) \(x=-\frac32,\ 1,\ \frac{-1\pm\sqrt{17}}4\).

Как понять метод

Главная идея: не раскрывать скобки, а заметить одинаковую конструкцию и заменить её одной буквой. После решения уравнения относительно новой переменной обязательно возвращаемся к \(x\) или \(t\).

---

а) \((2x^2+3)^2-12(2x^2+3)+11=0\)

Пусть \(u=2x^2+3\). Тогда:

\[ u^2-12u+11=0 \] \[ (u-1)(u-11)=0 \] \[ u=1 \quad \text{или} \quad u=11. \]

Но \(2x^2+3\ge3\), поэтому \(u=1\) не даёт действительных корней.

Берём \(u=11\):

\[ 2x^2+3=11 \] \[ 2x^2=8 \] \[ x^2=4 \] \[ x=\pm2. \]

Ответ: \(-2;2\).

---

б) \((t^2-2t)^2-3=2(t^2-2t)\)

Пусть \(u=t^2-2t\). Получаем:

\[ u^2-2u-3=0 \] \[ (u-3)(u+1)=0 \] \[ u=3 \quad \text{или} \quad u=-1. \]

1. Если \(u=3\):

\[ t^2-2t=3 \] \[ t^2-2t-3=0 \] \[ t=-1;\ 3. \]

2. Если \(u=-1\):

\[ t^2-2t=-1 \] \[ t^2-2t+1=0 \] \[ (t-1)^2=0 \] \[ t=1. \]

Ответ: \(-1;1;3\).

---

в) \((x^2+x-1)(x^2+x+2)=40\)

Пусть \(u=x^2+x\). Тогда:

\[ (u-1)(u+2)=40 \] \[ u^2+u-2=40 \] \[ u^2+u-42=0 \] \[ (u-6)(u+7)=0. \]

Значит, \(u=6\) или \(u=-7\).

1. \(u=6\):

\[ x^2+x=6 \] \[ x^2+x-6=0 \] \[ (x+3)(x-2)=0 \] \[ x=-3;\ 2. \]

2. \(u=-7\):

\[ x^2+x=-7 \] \[ x^2+x+7=0. \]

Дискриминант:

\[ D=1-28=-27<0, \]

поэтому действительных корней нет.

Ответ: \(-3;2\).

---

г) \((2x^2+x-1)(2x^2+x-4)+2=0\)

Пусть \(u=2x^2+x\). Тогда:

\[ (u-1)(u-4)+2=0 \] \[ u^2-5u+4+2=0 \] \[ u^2-5u+6=0 \] \[ (u-2)(u-3)=0. \]

Значит, \(u=2\) или \(u=3\).

1. \(u=2\):

\[ 2x^2+x=2 \] \[ 2x^2+x-2=0. \]

\[ D=1+16=17, \] \[ x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}4. \]

2. \(u=3\):

\[ 2x^2+x=3 \] \[ 2x^2+x-3=0. \]

\[ D=1+24=25, \] \[ x=\frac{-1\pm5}{4}. \]

То есть:

\[ x=1 \quad \text{или} \quad x=-\frac32. \]

Ответ:
\[ -\frac32;\ 1;\ \frac{-1-\sqrt{17}}4;\ \frac{-1+\sqrt{17}}4. \]

Проверка: например, в пункте г при \(x=1\):
\((2+1-1)(2+1-4)+2=2\cdot(-1)+2=0\). Всё верно.