Реши номер 223

Question 1

Задача Задача №3764088

А

Аноним

5 дней назад · публичный вопрос

А

Аноним 5 дней назад

Реши номер 223

Answer

Краткий ответ

\[ \begin{aligned} \text{а)}&\quad x=\pm 3;\\ \text{б)}&\quad y=\pm 2,\ \pm\sqrt2;\\ \text{в)}&\quad \text{действительных корней нет};\\ \text{г)}&\quad x=\pm 1,\ \pm\frac12;\\ \text{д)}&\quad x=\pm\frac{\sqrt6}{3},\ \pm\frac{\sqrt3}{3};\\ \text{е)}&\quad y=\pm\frac12. \end{aligned} \]

Как решаются биквадратные уравнения

Делаем замену:

\[ z=x^2 \quad (\text{или } y^2,\ t^2), \]

причём обязательно \(z\ge 0\), потому что квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

После замены получается обычное квадратное уравнение. Находим \(z\), затем:

если \(z>0\), то \(x=\pm\sqrt z\);
если \(z=0\), то \(x=0\);
если \(z<0\), этот корень отбрасываем.

Решение по пунктам

а)
\[ x^4-5x^2-36=0 \] Пусть \(z=x^2\): \[ z^2-5z-36=0 \] \[ D=25+144=169,\qquad \sqrt D=13 \] \[ z=\frac{5\pm13}{2} \] \[ z=9 \quad \text{или} \quad z=-4 \] Корень \(-4\) не подходит, так как \(z\ge0\). Значит: \[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3 \]

б)
\[ y^4-6y^2+8=0 \] Пусть \(z=y^2\): \[ z^2-6z+8=0 \] \[ D=36-32=4 \] \[ z=\frac{6\pm2}{2}=4 \quad \text{или} \quad 2 \] Оба значения неотрицательны: \[ y^2=4 \Rightarrow y=\pm2 \] \[ y^2=2 \Rightarrow y=\pm\sqrt2 \]

в)
\[ t^4+10t^2+25=0 \] Заметим: \[ t^4+10t^2+25=(t^2+5)^2 \] Получаем: \[ (t^2+5)^2=0 \] \[ t^2=-5 \] Но квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Значит, действительных корней нет.

г)
\[ 4x^4-5x^2+1=0 \] Пусть \(z=x^2\): \[ 4z^2-5z+1=0 \] \[ D=25-16=9 \] \[ z=\frac{5\pm3}{8} \] \[ z=1 \quad \text{или} \quad z=\frac14 \] Тогда: \[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1 \] \[ x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm\frac12 \]

д)
\[ 9x^4-9x^2+2=0 \] Пусть \(z=x^2\): \[ 9z^2-9z+2=0 \] \[ D=81-72=9 \] \[ z=\frac{9\pm3}{18} \] \[ z=\frac{12}{18}=\frac23 \quad \text{или} \quad z=\frac{6}{18}=\frac13 \] Значит: \[ x^2=\frac23 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac23}=\pm\frac{\sqrt6}{3} \] \[ x^2=\frac13 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac13}=\pm\frac{\sqrt3}{3} \]

е)
\[ 16y^4-8y^2+1=0 \] Заметим, что: \[ 16y^4-8y^2+1=(4y^2-1)^2 \] Тогда: \[ (4y^2-1)^2=0 \] \[ 4y^2-1=0 \] \[ y^2=\frac14 \] \[ y=\pm\frac12 \]

Проверка

Например, в пункте д при \(x^2=\frac23\):

\[ 9\left(\frac23\right)^2-9\cdot\frac23+2 =9\cdot\frac49-6+2 =4-6+2=0 \]

Подстановка подходит. Отрицательные значения \(z\) мы отбрасывали именно потому, что квадрат действительного числа всегда неотрицателен.

Question 2

реши номер 223

Answer

## Краткий ответ \[ \begin{aligned} \text{а)}&\quad x=\pm 3;\\ \text{б)}&\quad y=\pm 2,\ \pm\sqrt2;\\ \text{в)}&\quad \text{действительных корней нет};\\ \text{г)}&\quad x=\pm 1,\ \pm\frac12;\\ \text{д)}&\quad x=\pm\frac{\sqrt6}{3},\ \pm\frac{\sqrt3}{3};\\ \text{е)}&\quad y=\pm\frac12. \end{aligned} \] ## Как решаются биквадратные уравнения Делаем замену: \[ z=x^2 \quad (\text{или } y^2,\ t^2), \] причём обязательно \(z\ge 0\), потому что квадрат действительного числа не может быть отрицательным. После замены получается обычное квадратное уравнение. Находим \(z\), затем: - если \(z>0\), то \(x=\pm\sqrt z\); - если \(z=0\), то \(x=0\); - если \(z<0\), этот корень отбрасываем. ## Решение по пунктам **а)** \[ x^4-5x^2-36=0 \] Пусть \(z=x^2\): \[ z^2-5z-36=0 \] \[ D=25+144=169,\qquad \sqrt D=13 \] \[ z=\frac{5\pm13}{2} \] \[ z=9 \quad \text{или} \quad z=-4 \] Корень \(-4\) не подходит, так как \(z\ge0\). Значит: \[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3 \] --- **б)** \[ y^4-6y^2+8=0 \] Пусть \(z=y^2\): \[ z^2-6z+8=0 \] \[ D=36-32=4 \] \[ z=\frac{6\pm2}{2}=4 \quad \text{или} \quad 2 \] Оба значения неотрицательны: \[ y^2=4 \Rightarrow y=\pm2 \] \[ y^2=2 \Rightarrow y=\pm\sqrt2 \] --- **в)** \[ t^4+10t^2+25=0 \] Заметим: \[ t^4+10t^2+25=(t^2+5)^2 \] Получаем: \[ (t^2+5)^2=0 \] \[ t^2=-5 \] Но квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Значит, действительных корней нет. --- **г)** \[ 4x^4-5x^2+1=0 \] Пусть \(z=x^2\): \[ 4z^2-5z+1=0 \] \[ D=25-16=9 \] \[ z=\frac{5\pm3}{8} \] \[ z=1 \quad \text{или} \quad z=\frac14 \] Тогда: \[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1 \] \[ x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm\frac12 \] --- **д)** \[ 9x^4-9x^2+2=0 \] Пусть \(z=x^2\): \[ 9z^2-9z+2=0 \] \[ D=81-72=9 \] \[ z=\frac{9\pm3}{18} \] \[ z=\frac{12}{18}=\frac23 \quad \text{или} \quad z=\frac{6}{18}=\frac13 \] Значит: \[ x^2=\frac23 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac23}=\pm\frac{\sqrt6}{3} \] \[ x^2=\frac13 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac13}=\pm\frac{\sqrt3}{3} \] --- **е)** \[ 16y^4-8y^2+1=0 \] Заметим, что: \[ 16y^4-8y^2+1=(4y^2-1)^2 \] Тогда: \[ (4y^2-1)^2=0 \] \[ 4y^2-1=0 \] \[ y^2=\frac14 \] \[ y=\pm\frac12 \] ## Проверка Например, в пункте **д** при \(x^2=\frac23\): \[ 9\left(\frac23\right)^2-9\cdot\frac23+2 =9\cdot\frac49-6+2 =4-6+2=0 \] Подстановка подходит. Отрицательные значения \(z\) мы отбрасывали именно потому, что квадрат действительного числа всегда неотрицателен.