Реши задание на изображении

Ответ:
№10 — \(AC=12\);
№11 — \(S_{ABC}=70\).

№10

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), значит \(AB=20\) — гипотенуза.

\[ \sin A=\frac{BC}{AB} \]

Отсюда:

\[ BC=20\cdot 0{,}8=16 \]

По теореме Пифагора:

\[ AC=\sqrt{AB^2-BC^2} =\sqrt{20^2-16^2} =\sqrt{400-256} =\sqrt{144}=12 \]

Проверка: \(\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{20}=0{,}6\), а \(\sin^2A+\cos^2A=0{,}8^2+0{,}6^2=1\).

№11

Площадь треугольника можно найти по формуле:

\[ S=\frac12 ab\sin\angle \text{между ними} \]

У треугольников \(AMK\) и \(ABC\) общий угол \(A\). Поэтому их площади относятся как произведения сторон, прилежащих к углу \(A\):

\[ \frac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \frac{AM\cdot AK}{AC\cdot AB} \]

Так как \(BM\) — медиана, то \(M\) — середина \(AC\), значит:

\[ AM=\frac12 AC \]

По условию:

\[ AK=\frac15 AB \]

Тогда:

\[ \frac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \frac{\frac12 AC\cdot \frac15 AB}{AC\cdot AB} = \frac12\cdot\frac15 = \frac1{10} \]

Значит, площадь \(ABC\) в 10 раз больше:

\[ S_{ABC}=7\cdot 10=70 \]

Главный принцип: если у треугольников общий угол, то отношение их площадей равно произведению отношений сторон, выходящих из этого угла.