1. В трапеции \( A B C D \) боковые стороны \( A B \) и \( C D \) равны, \( C H- \) высота, проведённая к большему основанию \( A D \). Найдите длину отрезка \( H D \), если средняя линия \( K M \) трапеции равна 10 , а меньшее основание \( B C \) равно 4.

Давайте воспользуемся свойством трапеции, что сумма длин оснований равна произведению высоты на среднюю линию. Имеем:

\[ \begin{aligned} AB+CD&=CH \cdot KM \\ 4 + AB&=CH \cdot 10 \\ AB &= 10CH - 4 \end{aligned} \]

Также из условия задачи известно, что боковые стороны \(AB\) и \(CD\) равны, то есть:

\[ AB = CD \]

Подставим значение \(AB\) в это уравнение:

\[ 10CH - 4 = CD \]

Так как \(CD = AB\), то:

\[ 10CH - 4 = AB \]

Мы знаем, что сумма всех сторон трапеции равна периметру. Подставим значения сторон в эту формулу:

\[ AB + AB + CD + CH = AB + CH + AB + CD = 2AB + 2CH = 2(10CH - 4) + 2CH = 22CH - 8 \]

Но периметр трапеции представляет собой сумму всех сторон, поэтому:

\[ 2AB + 2CH = 22CH - 8 \]

После сокращения:

\[ AB + CH = 11CH - 4 \]

Так как \(AB = CH\), то:

\[ 2CH = 11CH - 4 \]

Решив это уравнение, получим:

\[ 9CH = 4 \]

\[ CH = \frac{4}{9} \]

Теперь можем найти длину отрезка \(HD\). Для этого используем формулу:

\[ HD = CH - CD = CH - AB \]

Подставляем значения:

\[ HD = \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = 0 \]

Таким образом, длина отрезка \(HD\) равна 0.