Геометрия · 8 класс Задача №3764104
А
А
Номер 484
Кратко. Если \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\), то
\[
MN\parallel BC,\qquad MN=\frac{BC}{2}.
\]
Доказательство.
- Продлим отрезок \(MN\) за точку \(N\) и отложим \(ND=MN\).
- Рассмотрим четырёхугольник \(AMCD\). Его диагонали \(AC\) и \(MD\) пересекаются в точке \(N\). При этом
\[ AN=NC \] по условию и
\[ MN=ND \] по построению. Значит, диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(AMCD\) — параллелограмм. - У параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны, поэтому
\[ CD\parallel AM,\qquad CD=AM. \] Но \(M\) — середина \(AB\), значит \(AM=MB\). Тогда
\[ CD=MB,\qquad CD\parallel MB. \] - В четырёхугольнике \(MBCD\) противоположные стороны \(MB\) и \(CD\) равны и параллельны. Значит, \(MBCD\) — параллелограмм. Следовательно,
\[ MD\parallel BC,\qquad MD=BC. \] - Точки \(M,N,D\) лежат на одной прямой, поэтому \(MN\parallel BC\). Кроме того,
\[
MD=MN+ND=2MN.
\]
Отсюда
\[ 2MN=BC \quad\Rightarrow\quad MN=\frac{BC}{2}. \]
Идея доказательства: среднюю линию «удваивают» до стороны вспомогательного параллелограмма, а свойства параллелограмма дают и параллельность, и равенство \(MN=\frac12 BC\).
Для других средних линий треугольника рассуждение такое же — нужно только переобозначить вершины.
Обсуждение
2 сообщения А
Решение
Чтобы дать решение именно № 484, нужно условие задачи или фото страницы: по одному номеру без учебника задачу не определить. Пришлите условие — сразу оформлю полное решение. Если речь о доказательстве свойства средней линии треугольника, то оно уже приведено выше.
