№ 216 — подробное решение

Правило. Множитель перед скобкой умножается на каждый член внутри скобки: \[ k(a+b)=ka+kb \] Если перед скобкой стоит минус, знаки всех членов внутри меняются; если множитель отрицательный — «минус на минус даёт плюс».

---

а) \(4(x-2)=4\cdot x-4\cdot 2=\boxed{4x-8}\)

б) \(5(a+3)=5\cdot a+5\cdot 3=\boxed{5a+15}\)

в) \(-3(x-4)=-3\cdot x+(-3)\cdot(-4)=\boxed{-3x+12}\)

г) \(7(3-2x)=7\cdot 3-7\cdot 2x=\boxed{21-14x}\)

---

д) Раскрываем три скобки по отдельности: \[ 5(0{,}8y-0{,}1)=4y-0{,}5 \] \[ -0{,}7(4y+1)=-2{,}8y-0{,}7 \] \[ 8(0{,}7-0{,}4y)=5{,}6-3{,}2y \] Складываем и группируем: \[ 4y-0{,}5-2{,}8y-0{,}7+5{,}6-3{,}2y \] \[ y:\quad 4-2{,}8-3{,}2=-2 \] \[ \text{числа}:\quad -0{,}5-0{,}7+5{,}6=4{,}4 \] \[ \boxed{4{,}4-2y} \]

Проверка при \(y=1\): \(5\cdot0{,}7-0{,}7\cdot5+8\cdot0{,}3=3{,}5-3{,}5+2{,}4=2{,}4\); в ответе \(4{,}4-2=2{,}4\). ✔

---

е) \[ 3(2x-1)=6x-3,\qquad -5(x-3)=-5x+15,\qquad 6(3x-4)=18x-24 \] \[ 6x-3-5x+15+18x-24 \] \[ x:\quad 6-5+18=19 \] \[ \text{числа}:\quad -3+15-24=-12 \] \[ \boxed{19x-12} \]

Проверка при \(x=1\): \(3\cdot1-5\cdot(-2)+6\cdot(-1)=3+10-6=7\); в ответе \(19-12=7\). ✔

---

ж) \[ 3\left(\tfrac12x-\tfrac12\right)=1{,}5x-1{,}5 \] \[ 2\left(\tfrac14x+\tfrac12\right)=0{,}5x+1 \] \[ 1{,}5x-1{,}5+0{,}5x+1=2x-0{,}5 \] \[ \boxed{2x-\tfrac12} \]

Проверка при \(x=2\): \(3(1-0{,}5)+2(0{,}5+0{,}5)=1{,}5+2=3{,}5\); в ответе \(4-0{,}5=3{,}5\). ✔

---

з) Приводим дроби к общему знаменателю \(20\): \[ \frac{x+1}{4}=\frac{5(x+1)}{20},\qquad \frac{x-3}{5}=\frac{4(x-3)}{20},\qquad \frac12=\frac{10}{20} \] \[ \frac{5(x+1)-4(x-3)-10}{20} =\frac{5x+5-4x+12-10}{20} =\frac{x+7}{20} \] \[ \boxed{\frac{x+7}{20}}\quad\left(=0{,}05x+0{,}35\right) \]

Проверка при \(x=3\): \(\frac44-\frac05-\frac12=1-0{,}5=0{,}5\); в ответе \(\frac{10}{20}=0{,}5\). ✔

---

Главное для похожих заданий: сначала раскрой каждую скобку отдельно, потом собери отдельно переменные и отдельно числа — так почти невозможно ошибиться в знаках.

Ниже — подробное решение номера 216. Используем правило раскрытия скобок:

\[ k(a+b)=ka+kb \]

Если перед скобкой стоит минус, знаки внутри скобок меняются.

---

а)
\[ 4(x-2)=4\cdot x-4\cdot 2=4x-8 \]

б)
\[ 5(a+3)=5\cdot a+5\cdot 3=5a+15 \]

в)
\[ -3(x-4)=-3\cdot x-3\cdot(-4)=-3x+12 \]

г)
\[ 7(3-2x)=7\cdot3-7\cdot2x=21-14x \]

---

д)
\[ 5(0{,}8y-0{,}1)-0{,}7(4y+1)+8(0{,}7-0{,}4y) \]

Раскрываем каждую скобку:

\[ 5(0{,}8y-0{,}1)=4y-0{,}5 \]

\[ -0{,}7(4y+1)=-2{,}8y-0{,}7 \]

\[ 8(0{,}7-0{,}4y)=5{,}6-3{,}2y \]

Теперь складываем:

\[ 4y-0{,}5-2{,}8y-0{,}7+5{,}6-3{,}2y \]

Собираем вместе \(y\):

\[ 4y-2{,}8y-3{,}2y=-2y \]

Собираем числа:

\[ -0{,}5-0{,}7+5{,}6=4{,}4 \]

Значит:

\[ 4{,}4-2y \]

---

е)
\[ 3(2x-1)-5(x-3)+6(3x-4) \]

Раскрываем скобки:

\[ 3(2x-1)=6x-3 \]

\[ -5(x-3)=-5x+15 \]

\[ 6(3x-4)=18x-24 \]

Получаем:

\[ 6x-3-5x+15+18x-24 \]

Собираем \(x\):

\[ 6x-5x+18x=19x \]

Собираем числа:

\[ -3+15-24=-12 \]

Ответ:

\[ 19x-12 \]

---

ж)
\[ 3\left(\frac12x-\frac12\right)+2\left(\frac14x+\frac12\right) \]

Раскрываем скобки:

\[ 3\cdot\frac12x-3\cdot\frac12+\;2\cdot\frac14x+2\cdot\frac12 \]

\[ =\frac32x-\frac32+\frac12x+1 \]

Собираем \(x\):

\[ \frac32x+\frac12x=\frac{3+1}{2}x=2x \]

Собираем числа:

\[ -\frac32+1=-\frac32+\frac22=-\frac12 \]

Ответ:

\[ 2x-\frac12 \]

---

з)
\[ \frac{x-1}{4}-\frac{x-3}{5} \]

Приводим к общему знаменателю \(20\):

\[ \frac{5(x-1)}{20}-\frac{4(x-3)}{20} \]

Раскрываем числители:

\[ 5(x-1)=5x-5 \]

\[ 4(x-3)=4x-12 \]

Получаем:

\[ \frac{5x-5-(4x-12)}{20} \]

Раскрываем минус перед скобкой:

\[ \frac{5x-5-4x+12}{20} \]

\[ =\frac{x+7}{20} \]

---

Итоговые ответы:

\[ \boxed{\text{а) }4x-8} \]

\[ \boxed{\text{б) }5a+15} \]

\[ \boxed{\text{в) }-3x+12} \]

\[ \boxed{\text{г) }21-14x} \]

\[ \boxed{\text{д) }4{,}4-2y} \]

\[ \boxed{\text{е) }19x-12} \]

\[ \boxed{\text{ж) }2x-\frac12} \]

\[ \boxed{\text{з) }\frac{x+7}{20}} \]