90 91 95

Краткий ответ

90. Периметр треугольника \(ABC\) равен 75 см. 91. Две другие стороны: 12,7 см и 17,3 см. 95. а) \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по двум сторонам и углу между ними; б) \(AB=14\) см, \(BC=17\) см.

90. Периметр треугольника

Что делаем: постепенно выражаем каждую сторону через данную.

1. \(AB=17\) см.
2. \(AC\) вдвое больше \(AB\): \[ AC=2\cdot17=34\text{ см}. \]
3. \(BC\) на 10 см меньше \(AC\): \[ BC=34-10=24\text{ см}. \]
4. Периметр — сумма всех сторон: \[ P=AB+AC+BC=17+34+24=75\text{ см}. \]

Принцип: фразы «вдвое больше», «на 10 меньше» — это действия с числами. Сначала находим «промежуточную» сторону, потом остальные.

91. Две стороны по периметру и разности

Что делаем: две неизвестные стороны обозначаем буквами и составляем два условия.

Пусть две неизвестные стороны равны \(b\) и \(c\), причём \(b>c\). Тогда: \[ b+c+18=48 \quad\Rightarrow\quad b+c=30. \] По условию разность: \[ b-c=4{,}6. \]

Сложим уравнения: \[ 2b=30+4{,}6=34{,}6 \quad\Rightarrow\quad b=17{,}3. \] Тогда \[ c=30-17{,}3=12{,}7. \]

Проверка: \[ 12{,}7+17{,}3+18=48,\qquad 17{,}3-12{,}7=4{,}6. \] Неравенство треугольника тоже выполняется: \(12{,}7+17{,}3>18\).

Принцип: периметр даёт сумму двух неизвестных сторон, а условие задачи — их разность. Два условия на две неизвестные — решаем как систему.

95. Равенство треугольников

а) Доказательство

Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\). По рисунку 53:

• \(BC=AD\) — по условию;
• \(AC\) — общая сторона;
• \(\angle BCA=\angle1\), \(\angle DAC=\angle2\), а \(\angle1=\angle2\), значит, углы между равными сторонами и общей стороной равны.

Значит, \[ \triangle ABC=\triangle CDA \] по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

б) Нахождение сторон

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, поэтому соответствующие элементы равны. Из записи \(\triangle ABC=\triangle CDA\) следует соответствие вершин: \[ A\leftrightarrow C,\qquad B\leftrightarrow D,\qquad C\leftrightarrow A. \] Отсюда \[ AB=CD,\qquad BC=AD. \] Дано \(AD=17\) см, \(DC=14\) см, поэтому \[ AB=CD=14\text{ см},\qquad BC=AD=17\text{ см}. \]

Проверка: \(BC=AD=17\), \(AB=DC=14\) — все данные задачи учтены, равенство треугольников записано в правильном порядке вершин.

Принцип для похожих задач: найди общую сторону или угол, выпиши все равные элементы и запиши равенство треугольников так, чтобы порядок вершин показывал соответствие. Тогда нужные стороны находятся автоматически.