92
Кратко
\[ \text{92. а) }\frac{c}{b-c}+\frac{b^2-3bc}{b^2-c^2} =\frac{b-c}{b+c} \]
\[ \text{92. б) }\frac{a+3}{a^2-1}-\frac{1}{a^2+a} =\frac{a+1}{a(a-1)} \]
Ограничения: в пункте а \(b\ne c,\ b\ne -c\); в пункте б \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ a\ne -1\).
92. а)
Разложим второй знаменатель:
\[ b^2-c^2=(b-c)(b+c). \]
Общий знаменатель: \((b-c)(b+c)\). Первую дробь домножаем на \(b+c\):
\[ \frac{c(b+c)}{(b-c)(b+c)}+\frac{b^2-3bc}{(b-c)(b+c)}. \]
Теперь складываем числители:
\[ \frac{c(b+c)+b^2-3bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{bc+c^2+b^2-3bc}{(b-c)(b+c)}. \]
Приводим подобные:
\[ \frac{b^2-2bc+c^2}{(b-c)(b+c)} = \frac{(b-c)^2}{(b-c)(b+c)}. \]
Сокращаем на \(b-c\):
\[ \boxed{\frac{b-c}{b+c}}. \]
92. б)
Раскладываем знаменатели:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1),\qquad a^2+a=a(a+1). \]
Общий знаменатель:
\[ a(a-1)(a+1). \]
Домножаем числители на недостающие множители:
\[ \frac{a(a+3)}{a(a-1)(a+1)}-\frac{a-1}{a(a-1)(a+1)}. \]
Вычитаем числители:
\[ \frac{a(a+3)-(a-1)}{a(a-1)(a+1)}. \]
Раскрываем скобки:
\[ \frac{a^2+3a-a+1}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+1}{a(a-1)(a+1)}. \]
Замечаем формулу квадрата суммы:
\[ a^2+2a+1=(a+1)^2. \]
Получаем:
\[ \frac{(a+1)^2}{a(a-1)(a+1)} = \boxed{\frac{a+1}{a(a-1)}}. \]
Проверка
Для а возьмём \(b=2,\ c=1\):
\[ 1+\frac{4-6}{4-1}=1-\frac23=\frac13, \]
а по ответу:
\[ \frac{2-1}{2+1}=\frac13. \]
Для б возьмём \(a=2\):
\[ \frac{5}{3}-\frac{1}{6}=\frac{9}{6}=\frac32, \]
а по ответу:
\[ \frac{3}{2(1)}=\frac32. \]
Всё сходится.
Принцип: разложи знаменатели на множители → найди общий знаменатель → домножь числители → вычти или сложи → разложи числитель и сократи. Сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые.
