Реши задание на изображении
Краткий ответ
По порядку:
- \(x\in(-\infty;-8]\cup[0;17]\)
- \(x\in(-3;8)\cup(20;+\infty)\)
- \(x\in[-5;-1]\cup[1;+\infty)\)
- \(x\in(-8;4)\)
- если пример такой: \(\dfrac{4x}{4x-10}\le0\), то
\[ x\in[0;2{,}5) \]
Как это получается
Главный приём — метод интервалов:
- Находим нули числителя и знаменателя.
- Отмечаем их на числовой прямой.
- Определяем знак выражения на каждом промежутке.
- Выбираем нужные промежутки.
- Нули знаменателя никогда не включаем; нули числителя включаем только при \(\le\) или \(\ge\).
1) \(x(x+8)(x-17)\le0\)
Корни: \[ x=-8,\quad x=0,\quad x=17 \]
Знаки по интервалам: \[ -\ \Big|\ +\ \Big|\ -\ \Big|\ + \] то есть: \[ (-\infty;-8),\ (-8;0),\ (0;17),\ (17;+\infty) \]
Нам нужны промежутки со знаком «минус» и сами корни, потому что неравенство нестрогое:
\[ \boxed{(-\infty;-8]\cup[0;17]} \]
2) \((x+3)(x-8)(x-20)>0\)
Корни: \[ -3,\ 8,\ 20 \]
Знаки: \[ -\ \Big|\ +\ \Big|\ -\ \Big|\ + \]
Нужен знак «плюс», причём неравенство строгое, поэтому корни не включаем:
\[ \boxed{(-3;8)\cup(20;+\infty)} \]
3) \((x^2-1)(x+5)\ge0\)
Разложим: \[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Тогда: \[ (x-1)(x+1)(x+5)\ge0 \]
Корни: \[ -5,\ -1,\ 1 \]
Знаки: \[ -\ \Big|\ +\ \Big|\ -\ \Big|\ + \]
Нужен «плюс» и сами корни включаем:
\[ \boxed{[-5;-1]\cup[1;+\infty)} \]
4) \(\dfrac{x-4}{x+8}<0\)
Ноль числителя: \[ x=4 \]
Ноль знаменателя: \[ x=-8 \] но \(x=-8\) не входит в область определения.
Знаки: \[ +\ \Big|\ -\ \Big|\ + \] на промежутках: \[ (-\infty;-8),\ (-8;4),\ (4;+\infty) \]
Нужен «минус», неравенство строгое:
\[ \boxed{(-8;4)} \]
5) \(\dfrac{4x}{4x-10}\le0\)
Ноль числителя: \[ 4x=0\Rightarrow x=0 \]
Ноль знаменателя: \[ 4x-10=0\Rightarrow x=2{,}5 \] эта точка выколотая.
Знаки: \[ +\ \Big|\ -\ \Big|\ + \]
Нужен «минус» или ноль. Значит:
\[ \boxed{[0;2{,}5)} \]
Проверка
Например, в №1 возьмём \(x=-1\): \[ -1\cdot 7\cdot(-18)>0 \] значит, на промежутке \((-8;0)\) знак «плюс» — всё сходится.
В №4 возьмём \(x=0\): \[ \frac{-4}{8}<0 \] значит, середина \((-8;4)\) действительно подходит.
Обсуждение
2 сообщенияА сделай пожалуйста фотку где есть чертёж и т.д
Фотографию я приложить не могу, но вот готовые чертежи-схемы. Их можно просто перечертить на бумаге.
Обозначения:
● — точка входит; ○ — точка не входит.
1) \(x(x+8)(x-17)\le0\)
● ● ●
──────•───────────•────────────•──────
−8 0 17
− + − +
Ответ: (−∞; −8] ∪ [0; 17]
2) \((x+3)(x-8)(x-20)>0\)
○ ○ ○
──────○───────────○────────────○──────
−3 8 20
− + − +
Ответ: (−3; 8) ∪ (20; +∞)
3) \((x^2-1)(x+5)\ge0\)
То есть \((x-1)(x+1)(x+5)\ge0\).
● ● ●
──────•───────────•────────────•──────
−5 −1 1
− + − +
Ответ: [−5; −1] ∪ [1; +∞)
4) \(\dfrac{x-4}{x+8}<0\)
○ ○
──────────────────○────────────○──────
−8 4
+ − +
Ответ: (−8; 4)
5) \(\dfrac{4x}{4x-10}\le0\)
● ○
──────────────────•────────────○──────
0 2,5
+ − +
Ответ: [0; 2,5)
На бумаге достаточно рисовать так: ось, точки, знаки «+ − +» над промежутками, затем выделить нужные промежутки штриховкой.
