Что делать Надо

Кратко: на листе нужно не строить графики, а находить свойства квадратичной функции по формулам. Выполняются №3, №4, дополнительно №5; дома — номера из учебника и дополнительное задание про \(y=-2x^2+4x+4\).

Главное правило для \(y=ax^2+bx+c\):

\[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0) \]

Точка \((x_0;y_0)\) — вершина параболы.

• Если \(a>0\), ветви вверх: область значений \([y_0;+\infty)\), функция убывает до \(x_0\) и возрастает после.
• Если \(a<0\), ветви вниз: область значений \((-\infty;y_0]\), функция возрастает до \(x_0\) и убывает после.

Пример для №3а

\[ y=2x^2+3x+1 \]

\[ x_0=-\frac{3}{4} \]

\[ y_0=2\cdot\frac{9}{16}+3\cdot\left(-\frac34\right)+1=-\frac18 \]

Так как \(a=2>0\), область значений:

\[ E(y)=\left[-\frac18;+\infty\right) \]

Пример для №4а

\[ y=x^2-2x+5 \]

\[ x_0=\frac{2}{2}=1 \]

Ветви вверх, поэтому:

• убывает на \((-\infty;1]\);
• возрастает на \([1;+\infty)\).

---

Ответы для самопроверки

№3. Область значений

Задание	Ответ
а) \(y=2x^2+3x+1\)	\(\left[-\frac18;+\infty\right)\)
б) \(y=-2x^2+8x-11\)	\((-\infty;-3]\)

№4. Промежутки возрастания и убывания

Задание	Ответ
а) \(y=x^2-2x+5\)	убывает на \((-\infty;1]\), возрастает на \([1;+\infty)\)
б) \(y=-x^2+4x+7\)	возрастает на \((-\infty;2]\), убывает на \([2;+\infty)\)

---

№5а. Свойства функции \(y=x^2+2x-2\)

Вершина:

\[ x_0=-1,\qquad y_0=-3 \]

Свойства:

1. \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
2. \(E(y)=[-3;+\infty)\).
3. Нули функции:

\[ x^2+2x-2=0 \]

\[ x=-1\pm\sqrt3 \]

4. Так как ветви вверх:
   • \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-1-\sqrt3)\cup(-1+\sqrt3;+\infty)\);
   • \(y<0\) при \(x\in(-1-\sqrt3;-1+\sqrt3)\).
5. Убывает на \((-\infty;-1]\), возрастает на \([-1;+\infty)\).
6. Вершина \((-1;-3)\), ось симметрии \(x=-1\).

---

№5б. Свойства функции \(y=-\frac12x^2+x+2\)

Вершина:

\[ x_0=1,\qquad y_0=\frac52 \]

Свойства:

1. \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
2. \(E(y)=\left(-\infty;\frac52\right]\).
3. Нули:

\[ -\frac12x^2+x+2=0 \]

\[ x=1\pm\sqrt5 \]

4. Так как ветви вниз:
   • \(y>0\) при \(x\in(1-\sqrt5;1+\sqrt5)\);
   • \(y<0\) при \(x\in(-\infty;1-\sqrt5)\cup(1+\sqrt5;+\infty)\).
5. Возрастает на \((-\infty;1]\), убывает на \([1;+\infty)\).
6. Вершина \(\left(1;\frac52\right)\), ось симметрии \(x=1\).

---

Дополнительное домашнее задание: \(y=-2x^2+4x+4\)

\[ x_0=1,\qquad y_0=6 \]

Свойства:

1. \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
2. \(E(y)=(-\infty;6]\).
3. Нули:

\[ -2x^2+4x+4=0 \]

\[ x=1\pm\sqrt3 \]

4. Ветви вниз:
   • \(y>0\) при \(x\in(1-\sqrt3;1+\sqrt3)\);
   • \(y<0\) при \(x\in(-\infty;1-\sqrt3)\cup(1+\sqrt3;+\infty)\).
5. Возрастает на \((-\infty;1]\), убывает на \([1;+\infty)\).
6. Вершина \((1;6)\), ось симметрии \(x=1\).

Если нужны номера №122, №124(а), №244(б, в), их условий на фото нет — пришли страницу учебника.