Задача Задача №3764169
А
А
реши 101
Краткий ответ
Для \(k\in\mathbb Z\):
| Функция | Область определения \(D(f)\) | Область значений \(E(f)\) |
|---|---|---|
| а) \(f(x)=3\cos 2x-1\) | \(\mathbb R\) | \([-4;\,2]\) |
| б) \(f(x)=2-\operatorname{ctg}3x\) | \(\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi k}{3}\right\}\) | \(\mathbb R\) |
| в) \(f(x)=2\operatorname{tg}\frac{x}{2}\) | \(\mathbb R\setminus\{\pi+2\pi k\}\) | \(\mathbb R\) |
| г) \(f(x)=1+0{,}5\sin\frac{x}{2}\) | \(\mathbb R\) | \([0{,}5;\,1{,}5]\) |
Как рассуждать
Область определения — все \(x\), при которых выражение имеет смысл.
- \(\sin x\) и \(\cos x\) определены при любых \(x\).
- У \(\operatorname{tg}x\) нельзя делить на ноль, поэтому \(\cos x\ne 0\).
- У \(\operatorname{ctg}x\) аналогично \(\sin x\ne 0\).
Область значений — множество всех значений \(y\), которые может принять функция. Здесь помогает цепочка преобразований: берём множество значений базовой функции, затем умножаем и прибавляем.
а) \(f(x)=3\cos 2x-1\)
- Косинус определён при всех \(x\), поэтому \(D(f)=\mathbb R\).
- \(\cos 2x\in[-1;1]\).
- Умножаем на \(3\): \(3\cos 2x\in[-3;3]\).
- Вычитаем \(1\): \(3\cos 2x-1\in[-4;2]\).
Значит, \(E(f)=[-4;2]\).
б) \(f(x)=2-\operatorname{ctg}3x\)
- Котангенс не определён, когда \(\sin 3x=0\): \[ 3x=\pi k \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi k}{3}. \] Поэтому \[ D(f)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi k}{3}\right\}. \]
- \(\operatorname{ctg}3x\) принимает все действительные значения, поэтому \(2-\operatorname{ctg}3x\) тоже принимает все действительные значения: \[ E(f)=\mathbb R. \]
в) \(f(x)=2\operatorname{tg}\frac{x}{2}\)
- Тангенс не определён, когда \(\cos\frac{x}{2}=0\): \[ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad\Rightarrow\quad x=\pi+2\pi k. \] Значит, \[ D(f)=\mathbb R\setminus\{\pi+2\pi k\}. \]
- \(\operatorname{tg}\frac{x}{2}\) принимает все действительные значения, поэтому после умножения на \(2\) множество значений не меняется: \[ E(f)=\mathbb R. \]
г) \(f(x)=1+0{,}5\sin\frac{x}{2}\)
- Синус определён при всех \(x\), значит \(D(f)=\mathbb R\).
- \(\sin\frac{x}{2}\in[-1;1]\).
- Умножаем на \(0{,}5\): \(0{,}5\sin\frac{x}{2}\in[-0{,}5;0{,}5]\).
- Прибавляем \(1\): получаем \([0{,}5;1{,}5]\).
Значит, \[ E(f)=[0{,}5;1{,}5]. \]
Проверка
- В пункте а) при \(\cos 2x=-1\) получаем \(y=-4\), при \(\cos 2x=1\) получаем \(y=2\) — оба конца достижимы.
- В пункте г) при \(\sin\frac{x}{2}=-1\) получаем \(y=0{,}5\), при \(\sin\frac{x}{2}=1\) получаем \(y=1{,}5\).
- В пунктах б) и в) тангенс и котангенс могут становиться сколь угодно большими по модулю, поэтому область значений — вся числовая прямая.
