63
Краткий ответ
а) \((x+3)(x-7)>0\)
\[
x\in(-\infty;-3)\cup(7;+\infty)
\]
б) \((x+7)(x-6)<0\)
\[
x\in(-7;\,6)
\]
в) \(\left(x-3\right)\left(x+\frac12\right)<0\)
\[
x\in\left(-\frac12;\,3\right)
\]
г) \((x+4)(x-4{,}5)>0\)
\[
x\in(-\infty;-4)\cup(4{,}5;+\infty)
\]
Как решать методом интервалов
Приравниваем каждый множитель к нулю и находим точки:
- а) \(x=-3\), \(x=7\);
- б) \(x=-7\), \(x=6\);
- в) \(x=3\), \(x=-\frac12\);
- г) \(x=-4\), \(x=4{,}5\).
Отмечаем эти точки на числовой прямой.
Неравенства строгие, поэтому точки выколоты.Определяем знак произведения в каждом промежутке.
У всех произведений старший коэффициент положителен, поэтому справа от наибольшего корня знак «+», а при переходе через каждый корень знак меняется:
\[ + \quad - \quad + \]Выбираем нужные промежутки:
- если знак \(>0\), берём промежутки со знаком «+»;
- если знак \(<0\), берём промежуток со знаком «−».
Например, в пункте а:
\[
(x+3)(x-7)>0
\]
Корни: \(-3\) и \(7\).
Справа от \(7\) выражение положительно, между корнями отрицательно, слева от \(-3\) снова положительно. Значит:
\[
x<-3 \quad \text{или} \quad x>7.
\]
Проверка
Для пункта а возьмём \(x=0\): \[ (0+3)(0-7)=3\cdot(-7)=-21<0, \] значит \(0\) не входит в ответ. А при \(x=8\): \[ (8+3)(8-7)=11>0, \] поэтому \(8\) входит. Всё верно.
Обсуждение
2 сообщенияРешить все задания как на фото типо
По фото читаются такие неравенства — решаю их методом интервалов.
1) \(x^2-4x-5\le 0\)
\[ x^2-4x-5=0 \] \[ D=16+20=36,\qquad x_{1,2}=\frac{4\pm6}{2} \] \[ x_1=-1,\qquad x_2=5 \]
Знаки выражения: \(+,-,+\). Так как знак \(\le 0\), берём промежуток между корнями: \[ \boxed{x\in[-1;5]} \]
2) \((x+4)(x-9)>0\)
Корни: \[ x=-4,\qquad x=9 \]
Знаки: \(+,-,+\). Нужны промежутки со знаком \(+\), то есть вне корней: \[ \boxed{x\in(-\infty;-4)\cup(9;+\infty)} \]
a) \((x+2)(x-3)>0\)
Корни: \[ x=-2,\qquad x=3 \]
Знаки: \(+,-,+\). Берём внешние промежутки: \[ \boxed{x\in(-\infty;-2)\cup(3;+\infty)} \]
b) \((x-2)(x+3)<0\)
Корни: \[ x=-3,\qquad x=2 \]
Знаки: \(+,-,+\). Берём средний промежуток: \[ \boxed{x\in(-3;2)} \]
c) \(x(x+3)(x-2)\le 0\)
Корни: \[ x=-3,\quad x=0,\quad x=2 \]
Таблица знаков:
\[ \begin{array}{c|cccc} & (-\infty;-3)&(-3;0)&(0;2)&(2;+\infty)\\ \hline x+3 & - & + & + & +\\ x & - & - & + & +\\ x-2 & - & - & - & +\\ \hline \text{произведение} & - & + & - & + \end{array} \]
Нужны промежутки, где произведение \(\le 0\): \[ \boxed{x\in(-\infty;-3]\cup[0;2]} \]
d) \(\displaystyle \frac{x-1}{x+1}\ge 0\)
Нули числителя и знаменателя: \[ x=1,\qquad x=-1 \] При этом \(x\ne -1\), так как знаменатель не может быть равен нулю.
Знаки дроби: \[ +,\quad -,\quad + \]
Нужны промежутки со знаком \(+\), точка \(1\) входит, точка \(-1\) выколота: \[ \boxed{x\in(-\infty;-1)\cup[1;+\infty)} \]
Если в пункте c) у тебя строгий знак \(<0\), то ответ будет
\[
(-\infty;-3)\cup(0;2).
\]
Если в пункте d) строгий знак \(>0\), то ответ будет
\[
(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).
\]
