Номер 102
Кратко: график функции
\[
y=-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9
\]
— парабола с вершиной \((1;9)\), ветви направлены вниз; нули функции \(x=-2\) и \(x=4\).
Для построения графика можно взять точки: \[ \begin{array}{c|ccccccc} x&-3&-2&0&1&2&4\\ \hline y&-7&0&8&9&8&0 \end{array} \] Ось симметрии параболы: \(x=1\).
а) Значения функции
\[ y(2{,}5)=-2{,}5^2+2\cdot2{,}5+8=6{,}75 \] \[ y(-0{,}5)=-0{,}25-1+8=6{,}75 \] \[ y(-3)=-9-6+8=-7 \]
Ответ:
\[
y(2{,}5)=6{,}75,\quad y(-0{,}5)=6{,}75,\quad y(-3)=-7.
\]
б) Значения аргумента
Решаем уравнения:
\(y=6\): \[ -(x-1)^2+9=6 \] \[ (x-1)^2=3 \] \[ x=1\pm\sqrt3 \] То есть \(x\approx -0{,}73\) и \(x\approx2{,}73\).
\(y=0\): \[ -(x-1)^2+9=0 \] \[ (x-1)^2=9 \] \[ x=-2;\ 4. \]
\(y=-2\): \[ -(x-1)^2+9=-2 \] \[ (x-1)^2=11 \] \[ x=1\pm\sqrt{11} \] То есть \(x\approx -2{,}32\) и \(x\approx3{,}32\).
Ответ:
\[
y=6:\ x=1\pm\sqrt3;
\]
\[
y=0:\ x=-2;\ 4;
\]
\[
y=-2:\ x=1\pm\sqrt{11}.
\]
в) Нули и промежутки знакопостоянства
Нули функции: \[ x=-2,\quad x=4. \]
Так как ветви параболы направлены вниз: \[ y>0 \quad \text{при } x\in(-2;4), \] \[ y<0 \quad \text{при } x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty). \]
г) Возрастание, убывание и область значений
Вершина параболы находится в точке \(x=1\), поэтому: \[ \text{функция возрастает при } x\in(-\infty;1], \] \[ \text{функция убывает при } x\in[1;+\infty). \]
Наибольшее значение функции: \[ y_{\max}=9. \] Ветви направлены вниз, значит область значений: \[ E(y)=(-\infty;9]. \]
Главный принцип: приводим квадратичную функцию к виду \(y=a(x-x_0)^2+y_0\). Тогда \((x_0;y_0)\) — вершина параболы, а знак коэффициента \(a\) показывает направление ветвей.
