Реши задание на изображении

Кратко:
№ 11 — по второму признаку равенства треугольников: два угла и сторона между ними.
№ 13 — по первому признаку: две стороны и угол между ними.

№ 11

Дано:
\[ \angle 1=\angle 3,\qquad \angle 2=\angle 4. \]

Нужно доказать: \[ \triangle ABC=\triangle ADC. \]

Рассуждение

По рисунку: \[ \angle 3=\angle BAC,\qquad \angle 1=\angle DAC. \] Значит, из \(\angle1=\angle3\): \[ \angle BAC=\angle DAC. \]

Также: \[ \angle 4=\angle BCA,\qquad \angle 2=\angle DCA. \] Из \(\angle2=\angle4\): \[ \angle BCA=\angle DCA. \]

Сторона \(AC\) — общая для обоих треугольников, и она лежит между равными углами.

Значит, у треугольников \(ABC\) и \(ADC\) равны:

• два угла;
• сторона между ними.

По второму признаку равенства треугольников: \[ \triangle ABC=\triangle ADC. \]

Соответствие вершин: \(A\leftrightarrow A\), \(B\leftrightarrow D\), \(C\leftrightarrow C\).

Проверка: \(AC\) действительно является стороной, прилежащей к обоим равным углам, поэтому признак применён верно.

№ 13

Дано: \[ AB=CD,\qquad \angle BAC=\angle DCA. \]

Нужно доказать: \[ \triangle ABC=\triangle CDA. \]

Рассуждение

1. \(AB=CD\) — по условию.
2. \(AC=CA\) — общая сторона.
3. \(\angle BAC=\angle DCA\) — по условию.

При этом угол \(\angle BAC\) заключён между сторонами \(AB\) и \(AC\), а угол \(\angle DCA\) — между сторонами \(CD\) и \(CA\).

То есть имеем две стороны и угол между ними. По первому признаку равенства треугольников: \[ \triangle ABC=\triangle CDA. \]

Здесь важен порядок вершин: \[ A\leftrightarrow C,\qquad B\leftrightarrow D,\qquad C\leftrightarrow A. \]

Проверка: угол в первом треугольнике находится между стороной \(AB\) и общей стороной \(AC\), а во втором — между равной ей \(CD\) и той же \(AC\). Поэтому это именно первый признак, а не «сторона-сторона-угол».