Реши задание на изображении

На фото полностью читаются три задачи — №12, №14 и №16. Верхние карточки обрезаны, поэтому их условия неполные.

№12

Дано: \(EK=NK\), \(\angle1=\angle2\). Доказать: \(\triangle MEK=\triangle MNK\).

Рассмотрим \(\triangle MEK\) и \(\triangle MNK\):

1. \(EK=NK\) — по условию;
2. \(MK\) — общая сторона;
3. \(\angle EKM=\angle NKM\) — по условию.

Это две стороны и угол между ними. Значит, треугольники равны по первому признаку: \[ \triangle MEK\cong\triangle MNK. \]

Соответствие вершин: \(M\leftrightarrow M,\ E\leftrightarrow N,\ K\leftrightarrow K\).

№14

Дано: \(AD=BC\), \(\angle CAD=\angle ACB\). Доказать: \(\triangle ABC=\triangle CDA\).

Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\):

1. \(AC=CA\) — общая сторона;
2. \(BC=AD\) — по условию;
3. \(\angle BCA=\angle DAC\). Это те же углы, что \(\angle ACB\) и \(\angle CAD\), только записаны в другом порядке.

Причём угол \(\angle BCA\) лежит между сторонами \(BC\) и \(AC\), а \(\angle DAC\) — между \(AD\) и \(AC\).

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle ABC\cong\triangle CDA. \]

№16

Дано: \(CM=CK\), \(\angle1=\angle2\). Доказать: \(\triangle AMC=\triangle BKC\).

По рисунку \(K\) лежит на \(AC\), \(M\) — на \(BC\).

Рассмотрим \(\triangle AMC\) и \(\triangle BKC\):

1. \(CM=CK\) — по условию;
2. \(\angle ACM=\angle BCK\) — это один и тот же угол при вершине \(C\);
3. \(\angle AMC=\angle BKC\) — по условию, это углы \(1\) и \(2\).

В \(\triangle AMC\) сторона \(CM\) прилежит углам при вершинах \(C\) и \(M\), а в \(\triangle BKC\) сторона \(CK\) прилежит углам при вершинах \(C\) и \(K\).

Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам: \[ \triangle AMC\cong\triangle BKC. \]

Что важно понять: признак равенства выбирают по расположению равных элементов. Если равны две стороны, угол должен быть между ними. Если равны два угла, сторона должна быть между этими углами. Общие стороны и общие углы часто как раз и дают недостающий элемент.