Оформляю задачу с фото — площадь фигуры между прямой и параболой.

\[ y=1-x,\qquad y=3-2x-x^2 \]

1) Точки пересечения:

\[ 1-x=3-2x-x^2 \]

\[ x^2+x-2=0 \]

\[ (x+2)(x-1)=0 \]

\[ x_1=-2,\qquad x_2=1 \]

2) Вершина параболы:

\[ y=3-2x-x^2=4-(x+1)^2 \]

\[ (-1;4) \]

Ветви параболы направлены вниз, поэтому на отрезке \([-2;1]\) парабола находится выше прямой.

3) Площадь:

\[ S=\int_{-2}^{1}\left((3-2x-x^2)-(1-x)\right)dx \]

\[ S=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)\,dx \]

\[ S=\left[2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1} \]

\[ S=\left(2-\frac12-\frac13\right)-\left(-4-2+\frac83\right) \]

\[ S=\frac76-\left(-\frac{10}{3}\right) =\frac76+\frac{20}{6} =\frac{27}{6} =\frac92 \]

\[ \boxed{S=4{,}5} \]

Ответ: \(S=\dfrac92=4{,}5\) кв. ед.

В номере 358 — четыре определённых интеграла. Во всех применяется одна и та же формула Ньютона–Лейбница:

\[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a), \]

где \(F(x)\) — первообразная для \(f(x)\), то есть \(F'(x)=f(x)\).

Разберём каждый пункт.

---

а) \(\displaystyle \int_1^2 \frac{dx}{(2x+1)^2}\)

Сначала находим первообразную. Можно сделать замену \(t=2x+1\), тогда \(dt=2\,dx\), поэтому \(dx=\frac12 dt\):

\[ \int \frac{dx}{(2x+1)^2} =\frac12\int \frac{dt}{t^2} =\frac12\cdot\left(-\frac1t\right) =-\frac{1}{2t} =-\frac{1}{2(2x+1)}. \]

Теперь подставляем пределы от \(1\) до \(2\):

\[ \left[-\frac{1}{2(2x+1)}\right]_1^2 =F(2)-F(1). \]

Считаем отдельно:

\[ F(2)=-\frac{1}{2(4+1)}=-\frac{1}{10}, \]

\[ F(1)=-\frac{1}{2(2+1)}=-\frac{1}{6}. \]

Тогда:

\[ F(2)-F(1) =-\frac{1}{10}-\left(-\frac16\right) =-\frac{1}{10}+\frac16. \]

Приводим к общему знаменателю \(30\):

\[ -\frac{3}{30}+\frac{5}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}. \]

В тетради взяли знаменатель \(60\), поэтому получилось:

\[ -\frac{6}{60}+\frac{10}{60}=\frac{4}{60}=\frac{1}{15}. \]

Ответ тот же.

---

б) \(\displaystyle \int_0^\pi 3\cos\frac{x}{2}\,dx\)

Первообразная для \(\cos\frac{x}{2}\) равна \(2\sin\frac{x}{2}\), потому что

\[ \left(2\sin\frac{x}{2}\right)' =2\cos\frac{x}{2}\cdot\frac12 =\cos\frac{x}{2}. \]

Значит, для \(3\cos\frac{x}{2}\) первообразная:

\[ F(x)=3\cdot 2\sin\frac{x}{2}=6\sin\frac{x}{2}. \]

Подставляем пределы:

\[ \left[6\sin\frac{x}{2}\right]_0^\pi =6\sin\frac{\pi}{2}-6\sin 0. \]

Так как \(\sin\frac{\pi}{2}=1\), а \(\sin0=0\), получаем:

\[ 6\cdot1-6\cdot0=6. \]

---

в) \(\displaystyle \int_1^{10}\frac{dx}{x^2}\)

Перепишем подынтегральную функцию:

\[ \frac{1}{x^2}=x^{-2}. \]

Первообразная:

\[ \int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x. \]

Поэтому:

\[ \left[-\frac1x\right]_1^{10} =-\frac{1}{10}-\left(-\frac11\right) =-\frac{1}{10}+1. \]

Считаем:

\[ -\frac{1}{10}+\frac{10}{10}=\frac{9}{10}=0{,}9. \]

---

г) \(\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin 2x\,dx\)

Первообразная для \(\sin 2x\):

\[ \int \sin 2x\,dx=-\frac12\cos 2x. \]

Проверка:

\[ \left(-\frac12\cos 2x\right)' =-\frac12\cdot(-\sin 2x)\cdot2 =\sin 2x. \]

Теперь подставляем пределы:

\[ \left[-\frac12\cos 2x\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = -\frac12\cos\pi -\left(-\frac12\cos\frac{\pi}{2}\right). \]

Учитываем, что

\[ \cos\pi=-1,\qquad \cos\frac{\pi}{2}=0. \]

Тогда:

\[ -\frac12\cdot(-1)-\left(-\frac12\cdot0\right) = \frac12-0 = \frac12. \]

---

Итог:

\[ \text{а) }\frac{1}{15};\qquad \text{б) }6;\qquad \text{в) }\frac{9}{10}=0{,}9;\qquad \text{г) }\frac12. \]

Общий принцип для всех четырёх вариантов: находим первообразную, затем подставляем верхний предел, вычитаем значение с нижним пределом и аккуратно считаем дроби.

Разберём всё с самого начала — медленно и по частям. Сначала общие понятия, потом каждую строчку из решения.

---

1. Что такое определённый интеграл

Запись

\[ \int_a^b f(x)\,dx \]

читается: «интеграл от \(a\) до \(b\) функции \(f(x)\) де икс».

Геометрически это площадь фигуры под графиком \(y=f(x)\) на отрезке от \(x=a\) до \(x=b\) (если график выше оси \(Ox\)).

Почему площадь? Представь, что мы режем фигуру на очень узкие вертикальные полоски. У каждой полоски:

• высота \(\approx f(x)\),
• ширина — маленькое число \(\Delta x\).

Площадь одной полоски \(\approx f(x)\cdot \Delta x\). Складываем площади всех полосок — получаем примерно площадь фигуры. Чем полоски тоньше, тем точнее. В пределе сумма превращается в интеграл. Кстати, знак \(\int\) — это вытянутая буква \(S\) (от латинского summa — сумма).

---

2. Что такое \(dx\)

\(dx\) — это бесконечно малый приращение \(x\), то есть «ширина полоски» в пределе. Раньше писали \(\Delta x\), а когда переходят к пределу — пишут \(dx\).

У \(dx\) в записи интеграла две роли:

1. Показывает, по какой переменной интегрируем. Если написано \(\int f(x)\,dx\), значит переменная — \(x\). Если \(\int f(t)\,dt\) — переменная \(t\). Это как «подпись», к чему относится интеграл.
2. Работает как множитель при замене переменной. Например, в пункте (а) мы писали \(t=2x+1\), тогда \(dt=2\,dx\), откуда \(dx=\frac{dt}{2}\). Это не «умножение» в бытовом смысле, а удобная запись связи между маленькими изменениями: если \(x\) изменился на \(dx\), то \(t\) изменился в 2 раза сильнее.

То есть \(f(x)\,dx\) — это «высота умножить на ширину», площадь одной полоски. Поэтому \(dx\) в интеграле обязательно: без него непонятно, по какой переменной считаем и какой ширины полоски.

---

3. Что такое первообразная

Первообразная функции \(f(x)\) — это такая функция \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\):

\[ F'(x)=f(x). \]

Это «обратная операция» к дифференцированию. Если производная — это «как быстро меняется», то первообразная — «что надо продифференцировать, чтобы получить данное».

Примеры, которые нужны в номере 358:

Функция \(f(x)\)	Первообразная \(F(x)\)
\(x^n\) (\(n\neq -1\))	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)
\(x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}\)	\(-\dfrac{1}{x}\)
\(\cos kx\)	\(\dfrac{1}{k}\sin kx\)
\(\sin kx\)	\(-\dfrac{1}{k}\cos kx\)
\(\dfrac{1}{(kx+m)^2}\)	\(-\dfrac{1}{k(kx+m)}\)

Проверять всегда можно дифференцированием: взял \(F(x)\), продифференцировал — должен получиться исходный \(f(x)\).

Первообразных бесконечно много: к любой можно прибавить константу \(C\), и производная не изменится, ведь \((F+C)'=F'\). Поэтому в неопределённом интеграле пишут \(+C\). Но в определённом интеграле эта константа сократится:

\[ (F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a). \]

Поэтому в решении \(+C\) не пишут.

---

4. Формула Ньютона–Лейбница

\[ \boxed{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)} \]

Смысл: чтобы найти площадь, нужно:

1. Найти любую первообразную \(F(x)\).
2. Подставить верхний предел \(b\) — получить число \(F(b)\).
3. Подставить нижний предел \(a\) — получить число \(F(a)\).
4. Вычесть: из верхнего значения вычитаем нижнее.

Порядок важен: всегда \(F(b)-F(a)\), а не наоборот. Если перепутать, ответ поменяет знак.

---

5. Зачем нужна квадратная скобка

Запись

\[ \left[F(x)\right]_a^b \]

— это просто сокращённая запись для «подставь пределы и вычти»:

\[ \left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a). \]

Квадратная скобка — не умножение и не какая-то отдельная операция. Это как бы «коробка», в которую кладут первообразную, а индексы сверху и снизу напоминают: сверху — верхний предел, снизу — нижний. Экономит место: не надо каждый раз писать две строчки с \(F(b)\) и \(F(a)\).

Иногда вместо квадратных скобок пишут вертикальную черту:

\[ F(x)\Big|_a^b \]

Это одно и то же.

Важно: внутри скобки уже стоит первообразная, выраженная через \(x\). То есть сначала мы нашли \(F(x)\), а потом «навесили» пределы.

---

6. Как именно подставлять и вычитать

Пошагово на «скелете»:

\[ \left[F(x)\right]_a^b \]

1. Берём выражение \(F(x)\).
2. Вместо каждого \(x\) пишем \(b\) — это \(F(b)\). Обязательно в скобках, если в \(F\) есть минусы или дроби: \(F(b)\) может оказаться отрицательным.
3. Вместо каждого \(x\) пишем \(a\) — это \(F(a)\), тоже в скобках.
4. Пишем разность: \(F(b)-F(a)\).
5. Аккуратно считаем: раскрываем скобки, приводим дроби к общему знаменателю.

Главные ловушки:

• Минус перед \(F(a)\). Если \(F(a)\) отрицательное, то \(F(b)-F(a)=F(b)+|F(a)|\). Минус на минус даёт плюс.
• Дроби. Приводим к общему знаменателю, не складываем числители с разными знаменателями.
• Коэффициент при \(x\). Например, первообразная \(\cos\frac{x}{2}\) — это \(2\sin\frac{x}{2}\), а не просто \(\sin\frac{x}{2}\). Коэффициент появляется из-за правила дифференцирования сложной функции.

---

7. Теперь каждый пункт по строчкам

а) \(\displaystyle \int_1^2 \frac{dx}{(2x+1)^2}\)

Шаг 1. Первообразная. Ищем функцию, производная которой равна \(\frac{1}{(2x+1)^2}\).

Попробуем \(t=2x+1\). Тогда \(dt=2\,dx\), значит \(dx=\frac12\,dt\). Подставляем:

\[ \int \frac{dx}{(2x+1)^2}=\int \frac{1}{t^2}\cdot\frac12\,dt=\frac12\int t^{-2}\,dt. \]

По таблице \(\int t^{-2}dt=-\frac1t\). Получаем:

\[ \frac12\cdot\left(-\frac1t\right)=-\frac{1}{2t}. \]

Возвращаемся к \(x\), ведь пределы у нас по \(x\):

\[ F(x)=-\frac{1}{2(2x+1)}. \]

Проверка: производная \(-\frac12(2x+1)^{-1}\) равна \(-\frac12\cdot(-1)(2x+1)^{-2}\cdot 2=\frac{1}{(2x+1)^2}\). Верно.

Шаг 2. Подставляем пределы.

Верхний предел \(x=2\):

\[ F(2)=-\frac{1}{2(2\cdot2+1)}=-\frac{1}{2\cdot5}=-\frac{1}{10}. \]

Нижний предел \(x=1\):

\[ F(1)=-\frac{1}{2(2\cdot1+1)}=-\frac{1}{2\cdot3}=-\frac{1}{6}. \]

Шаг 3. Вычитаем:

\[ F(2)-F(1)=-\frac{1}{10}-\left(-\frac{1}{6}\right). \]

Минус на минус:

\[ =-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}. \]

Общий знаменатель \(30\):

\[ -\frac{3}{30}+\frac{5}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}. \]

(Если брать знаменатель \(60\), как в тетради: \(-\frac{6}{60}+\frac{10}{60}=\frac{4}{60}=\frac{1}{15}\) — то же самое.)

Ответ: \(\frac{1}{15}\).

---

б) \(\displaystyle \int_0^\pi 3\cos\frac{x}{2}\,dx\)

Шаг 1. Первообразная. Начнём с \(\cos\frac{x}{2}\). Мы знаем, что производная синуса — косинус, но аргумент \(\frac{x}{2}\), поэтому нужен коэффициент.

\[ \left(\sin\frac{x}{2}\right)'=\cos\frac{x}{2}\cdot\left(\frac{x}{2}\right)'=\cos\frac{x}{2}\cdot\frac12. \]

Появилась \(\frac12\). Чтобы её убрать, умножим первообразную на \(2\):

\[ \left(2\sin\frac{x}{2}\right)'=\cos\frac{x}{2}. \]

Значит, первообразная \(\cos\frac{x}{2}\) — это \(2\sin\frac{x}{2}\). А у нас ещё множитель \(3\), он просто сохраняется:

\[ F(x)=3\cdot 2\sin\frac{x}{2}=6\sin\frac{x}{2}. \]

Шаг 2. Подставляем пределы.

Верхний \(x=\pi\):

\[ F(\pi)=6\sin\frac{\pi}{2}=6\cdot 1=6. \]

Нижний \(x=0\):

\[ F(0)=6\sin 0=6\cdot 0=0. \]

Шаг 3. Вычитаем:

\[ F(\pi)-F(0)=6-0=6. \]

Ответ: \(6\).

---

в) \(\displaystyle \int_1^{10}\frac{dx}{x^2}\)

Шаг 1. Первообразная. Перепишем дробь как степень:

\[ \frac{1}{x^2}=x^{-2}. \]

По правилу \(\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\) при \(n=-2\):

\[ \int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x. \]

Проверка: \(\left(-\frac1x\right)'=-(-1)x^{-2}=\frac{1}{x^2}\). Верно.

Шаг 2. Пределы.

Верхний \(x=10\):

\[ F(10)=-\frac{1}{10}. \]

Нижний \(x=1\):

\[ F(1)=-\frac{1}{1}=-1. \]

Шаг 3. Вычитаем:

\[ F(10)-F(1)=-\frac{1}{10}-(-1)=-\frac{1}{10}+1. \]

Единица — это \(\frac{10}{10}\):

\[ -\frac{1}{10}+\frac{10}{10}=\frac{9}{10}=0{,}9. \]

Ответ: \(\frac{9}{10}=0{,}9\).

---

г) \(\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin 2x\,dx\)

Шаг 1. Первообразная. Здесь аргумент \(2x\), поэтому снова нужен коэффициент. Проверим:

\[ \left(-\frac12\cos 2x\right)'=-\frac12\cdot(-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x. \]

Верно, значит

\[ F(x)=-\frac12\cos 2x. \]

Шаг 2. Пределы.

Верхний \(x=\frac{\pi}{2}\):

\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac12\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right)=-\frac12\cos\pi. \]

А \(\cos\pi=-1\), поэтому

\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac12\cdot(-1)=\frac12. \]

Нижний \(x=\frac{\pi}{4}\):

\[ F\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac12\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=-\frac12\cos\frac{\pi}{2}. \]

А \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), поэтому

\[ F\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac12\cdot 0=0. \]

Шаг 3. Вычитаем:

\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac12-0=\frac12. \]

Ответ: \(\frac12\).

---

8. Короткая шпаргалка-алгоритм

1. Найти первообразную \(F(x)\) (по таблице, при необходимости — с заменой или подбором коэффициента).
2. Проверить дифференцированием: \(F'(x)\) должна равняться подынтегральной функции.
3. Записать \(\left[F(x)\right]_a^b\).
4. Вычислить \(F(b)\) — подставить верхний предел (в скобках!).
5. Вычислить \(F(a)\) — подставить нижний предел (в скобках!).
6. Найти \(F(b)-F(a)\), аккуратно раскрывая скобки и приводя дроби.

Если что-то из шагов (например, замена переменной или правило для сложной функции) нужно разобрать ещё подробнее — скажи, на каком именно пункте споткнулся, и разберём его отдельно.