Реши 118 номер примером как на доске
Краткие ответы:
а) \(x\in(-4;4)\)
б) \(x\in(-\infty;-\sqrt3]\cup[\sqrt3;+\infty)\)
в) \(x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)\)
г) \(x\in(-\infty;-\tfrac15]\cup[0;+\infty)\)
д) \(x\in\left(-\tfrac23;0\right)\)
е) \(x\in(-\infty;0)\cup(7;+\infty)\)
Как решать — как на доске
Главный приём: переносим всё в левую часть, находим нули и смотрим, где парабола выше или ниже оси \(Ox\).
Пример а):
\[ x^2<16 \]
\[ x^2-16<0 \]
Рассмотрим функцию \(y=x^2-16\). Её нули:
\[ x^2-16=0 \]
\[ x_1=-4,\quad x_2=4 \]
Ветви параболы направлены вверх. График ниже оси \(Ox\) между корнями, поэтому:
\[ -4<x<4 \]
Ответ: \((-4;4)\).
Остальные пункты
| Пункт | После преобразования | Нули | Ответ |
|---|---|---|---|
| б) | \(x^2-3\ge 0\) | \(\pm\sqrt3\) | \((-\infty;-\sqrt3]\cup[\sqrt3;+\infty)\) |
| в) | \(x^2-9>0\) | \(\pm3\) | \((-\infty;-3)\cup(3;+\infty)\) |
| г) | \(5x^2+x\ge 0\) | \(-\frac15;\,0\) | \((-\infty;-\frac15]\cup[0;+\infty)\) |
| д) | \(3x^2+2x<0\) | \(-\frac23;\,0\) | \(\left(-\frac23;0\right)\) |
| е) | \(x^2-7x>0\) | \(0;\,7\) | \((-\infty;0)\cup(7;+\infty)\) |
Важно: в пункте г) при умножении на \(-1\) знак неравенства меняется:
\[ -5x^2\le x \]
\[ -5x^2-x\le0 \]
\[ 5x^2+x\ge0 \]
Проверка: например, в а) \(x=0\): \(0<16\) — верно; в е) \(x=8\): \(56<64\) — верно.
Обсуждение
2 сообщенияРеши все не кратким оброзом
Решу подробно. Для всех пунктов используем один и тот же способ: перенесём всё в одну часть, найдём нули функции, разложим на множители и расставим знаки. Скобки в ответе круглые, если неравенство строгое, и квадратные, если точка входит в ответ.
а) \(x^2<16\)
\[ x^2-16<0 \]
\[ (x-4)(x+4)<0 \]
Нули:
\[ x=-4,\qquad x=4 \]
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она ниже оси \(Ox\) между корнями. Неравенство строгое, поэтому концы не включаем:
\[ -4<x<4 \]
Ответ: \(\boxed{x\in(-4;4)}\)
б) \(x^2\ge 3\)
\[ x^2-3\ge 0 \]
Разложим:
\[ (x-\sqrt3)(x+\sqrt3)\ge 0 \]
Нули:
\[ x=-\sqrt3,\qquad x=\sqrt3 \]
Парабола ветвями вверх, значит выражение неотрицательно слева от меньшего корня и справа от большего. Так как неравенство нестрогое, корни включаем:
\[ x\le -\sqrt3 \quad \text{или} \quad x\ge \sqrt3 \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-\sqrt3]\cup[\sqrt3;+\infty)} \]
в) \(x^2>9\)
\[ x^2-9>0 \]
\[ (x-3)(x+3)>0 \]
Нули:
\[ x=-3,\qquad x=3 \]
Парабола ветвями вверх. Положительна она вне промежутка между корнями. Неравенство строгое, поэтому \(-3\) и \(3\) не включаем:
\[ x<-3 \quad \text{или} \quad x>3 \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)} \]
г) \(-5x^2\le x\)
Перенесём \(x\) влево:
\[ -5x^2-x\le 0 \]
Умножим обе части на \(-1\). При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется:
\[ 5x^2+x\ge 0 \]
Вынесем \(x\):
\[ x(5x+1)\ge 0 \]
Нули:
\[ x=0,\qquad 5x+1=0 \Rightarrow x=-\frac15 \]
Расположим нули по возрастанию:
\[ -\frac15;\,0 \]
Так как коэффициент при \(x^2\) положителен, выражение \(\ge 0\) вне промежутка между корнями. Корни включаем, потому что неравенство нестрогое:
\[ x\le -\frac15 \quad \text{или} \quad x\ge 0 \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac15\right]\cup[0;+\infty)} \]
д) \(3x^2+2x<0\)
Вынесем \(x\):
\[ x(3x+2)<0 \]
Нули:
\[ x=0,\qquad 3x+2=0 \Rightarrow x=-\frac23 \]
То есть:
\[ x=-\frac23,\qquad x=0 \]
Парабола ветвями вверх, выражение отрицательно между корнями. Неравенство строгое, поэтому концы не включаем:
\[ -\frac23<x<0 \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left(-\frac23;0\right)} \]
е) \(x^2>7x\)
Перенесём \(7x\) влево:
\[ x^2-7x>0 \]
Вынесем \(x\):
\[ x(x-7)>0 \]
Нули:
\[ x=0,\qquad x=7 \]
Парабола ветвями вверх, выражение положительно вне промежутка между корнями. Неравенство строгое, поэтому \(0\) и \(7\) не включаем:
\[ x<0 \quad \text{или} \quad x>7 \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;0)\cup(7;+\infty)} \]
Итоговые ответы
\[ \boxed{\text{а) }(-4;4)} \]
\[ \boxed{\text{б) }(-\infty;-\sqrt3]\cup[\sqrt3;+\infty)} \]
\[ \boxed{\text{в) }(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)} \]
\[ \boxed{\text{г) }\left(-\infty;-\frac15\right]\cup[0;+\infty)} \]
\[ \boxed{\text{д) }\left(-\frac23;0\right)} \]
\[ \boxed{\text{е) }(-\infty;0)\cup(7;+\infty)} \]
Главное при оформлении: найти нули, нанести их на числовую прямую, определить знак выражения на каждом промежутке и выбрать нужные промежутки с учётом строгого или нестрогого неравенства.
