олимпиадалык тест чыгарып бер чыгарылышы мн

Олимпиадалык тест — математика (7–9-класс деңгээли), 6 тапшырма, 45 мүнөт

---

1. \(2^{2024}+3^{2024}\) саны 5ке бөлүнөбү?

2. Тик бурчтуктун периметри 34 см, диагоналы 13 см. Жактарын тап.

3. Класста 30 окуучу. Алардын 18и англис тилин, 15и немис тилин билет. Эки тилди тең билгендердин саны эң аз дегенде канча болушу мүмкүн?

4. \(x+\dfrac{1}{x}=3\) болсо, \(x^3+\dfrac{1}{x^3}\) эмнеге барабар?

5. \(1\cdot2\cdot3\cdots2024\) көбөйтүндүсү канча нөл менен бүтөт?

6. Ар кандай бүтүн \(n\) үчүн \(n^5-n\) саны 30га бөлүнөрүн далилде.

---

Чыгарылыштары жана жооптор

1. Жообу: жок, бөлүнбөйт. \(2024=4\cdot506\). \(2^4=16\equiv1\), \(3^4=81\equiv1 \pmod 5\), демек \(2^{2024}\equiv1\), \(3^{2024}\equiv1\). Кошунду \(\equiv 2 \pmod 5\) — 5ке бөлүнбөйт.

2. Жообу: 5 см жана 12 см. \(a+b=17\), \(a^2+b^2=13^2=169\). \((a+b)^2=289=169+2ab\Rightarrow ab=60\). \(a,b\) — \(t^2-17t+60=0\) теңдемесинин тамырлары: \(t=5;\ 12\).

3. Жообу: 3. \(|A\cup B|\le 30\), ал эми \(|A\cap B|=18+15-|A\cup B|\ge 33-30=3\). 3 окуучу эки тилди тең билгенде шарт аткарылат.

4. Жообу: 18. \(x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac1x\right)^3-3\left(x+\frac1x\right)=27-9=18\).

5. Жообу: 503 нөл. Нөлдөрдүн саны бештиктердин санына барабар: \(\left\lfloor\frac{2024}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2024}{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2024}{125}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2024}{625}\right\rfloor=404+80+16+3=503\).

6. Далил. \(n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)\).

• 2ге: катары менен келген үч сандын бири жуп.
• 3кө: \(n-1,\ n,\ n+1\) сандарынын бири 3кө бөлүнөт.
• 5ке: \(n\equiv0\) болсо \(n\); \(n\equiv\pm1\) болсо \(n\mp1\); \(n\equiv\pm2\) болсо \(n^2\equiv4\equiv-1\), демек \(n^2+1\) — 5ке бөлүнөт.

2, 3, 5 өз ара жөнөкөй болгондуктан көбөйтүндү \(2\cdot3\cdot5=30\)га бөлүнөт. \(\blacksquare\)

---

Башка предмет (физика, кыргыз тили, тарых…) же башка класс боюнча керек болсо — айтыңыз, ошого жараша түзүп берем.

Олимпиадалык тест — математика, 10-класс (6 тапшырма, 60 мүнөт)

---

1. Эсепте: \(\sin^2 10^\circ+\sin^2 50^\circ+\sin^2 70^\circ\).

2. Теңдемени чыгар: \(\log_x 2\cdot\log_{2x}2=\log_{4x}2\).

3. Далилде: ар кандай натурал \(n\) үчүн \(n^7-n\) саны 42ге бөлүнөт.

4. Жактары 13, 14, 15 болгон үч бурчтук берилген. Ичине жана тышына сызылган чөйрөлөрдүн радиустарын тап.

5. 1ден 1000ге чейинки сандардын ичинен 7ге да, 11ге да бөлүнбөгөн сандар канча?

6. \(a,b,c>0\) үчүн \((a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc\) экендигин далилде.

---

Чыгарылыштары жана жооптор

1. Жообу: \(\dfrac{3}{2}\). Косинус аркылуу түрдөнтөбүз: \(\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}\). Анда \[ S=\frac32-\frac{\cos20^\circ+\cos100^\circ+\cos140^\circ}{2}. \] \(\cos100^\circ+\cos140^\circ=2\cos120^\circ\cos20^\circ=-\cos20^\circ\), демек кашаанын ичи 0. Ошондуктан \(S=\frac32\).

2. Жообу: \(x=2^{\sqrt2}\) же \(x=2^{-\sqrt2}\). \(t=\log_2 x\) деп белгилейбиз (\(x>0,\ x\ne1\)). Анда \[ \log_x2=\frac1t,\quad \log_{2x}2=\frac{1}{1+t},\quad \log_{4x}2=\frac{1}{2+t}. \] Теңдеме: \(\dfrac{1}{t(1+t)}=\dfrac{1}{2+t}\Rightarrow t^2=2\Rightarrow t=\pm\sqrt2\). Текшерүү: \(t\ne0,-1,-2\) — баары аткарылат. Демек \(x=2^{\pm\sqrt2}\).

3. Далил. \(n^7-n=n(n^6-1)=n(n^3-1)(n^3+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)\).

• 2ге: \(n^7\) менен \(n\) бирдей жуптукта — айырмасы жуп.
• 3кө: \(3\mid n\) болсо \(n\); болбосо \(n^2\equiv1\pmod3\), демек \(n^6\equiv1\).
• 7ге: Ферманын кичи теоремасы боюнча (7 жөнөкөй) \(n^7\equiv n\pmod7\).

2, 3, 7 өз ара жөнөкөй, ошондуктан көбөйтүндү \(2\cdot3\cdot7=42\)ге бөлүнөт. \(\blacksquare\)

4. Жообу: \(r=4\), \(R=\dfrac{65}{8}\). Герон формуласы: \(s=\frac{13+14+15}{2}=21\), \[ S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84. \] Ичтей сызылган чөйрө: \(r=\frac{S}{s}=\frac{84}{21}=4\). Тыштай сызылган чөйрө: \(R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}\).

5. Жообу: 780. 7ге бөлүнүүчүлөр: \(\left\lfloor\frac{1000}{7}\right\rfloor=142\); 11ге: \(\left\lfloor\frac{1000}{11}\right\rfloor=90\); экөөнө тең (77ге): \(\left\lfloor\frac{1000}{77}\right\rfloor=12\). Кеминде бирине бөлүнүүчүлөр: \(142+90-12=220\). Бөлүнбөгөндөр: \(1000-220=780\).

6. Далил. Орточо арифметикалык–геометриялык барабарсыздыгы боюнча: \[ a+b\ge2\sqrt{ab},\qquad b+c\ge2\sqrt{bc},\qquad c+a\ge2\sqrt{ca}. \] Оң сандарды көбөйтөбүз: \[ (a+b)(b+c)(c+a)\ge 8\sqrt{ab\cdot bc\cdot ca}=8abc. \] Барабардык \(a=b=c\) болгондо гана аткарылат. \(\blacksquare\)

---

Керек болсо: убакытка ылайык кыскартылган вариант, жообу гана (текшерүү үчүн), же физика/кыргыз тили/тарых боюнча олимпиадалык тест — айтыңыз.

10-класс математикасы боюнча 32 тесттик олимпиадалык вариант (ар бирине жооп жана кыска чыгарылыш).

---

1. \(\log_2 48-\log_2 3=?\) — 4. \(\log_2\frac{48}{3}=\log_2 16=4\).

2. \(\sin 15^\circ\cos 15^\circ=?\) — \(\frac14\). \(\frac12\sin30^\circ=\frac14\).

3. Арифметикалык прогрессия: \(a_1=3,\ d=4\). \(a_{20}=?\) — 79. \(3+19\cdot4=79\).

4. Геометриялык прогрессия: \(b_1=2,\ q=3\). \(S_5=?\) — 242. \(\frac{2(3^5-1)}{2}=242\).

5. \(x^2-5x+6\le0\) теңсиздигинин бүтүн чыгарылыштарынын суммасы? — 5. \(x\in[2;3]\), бүтүн сандар 2 жана 3.

6. \(\sqrt{7+4\sqrt3}=?\) — \(2+\sqrt3\). \((2+\sqrt3)^2=7+4\sqrt3\).

7. 5 элементтен 2ни тандап алуунун саны? — 10. \(C_5^2=\frac{5\cdot4}{2}=10\).

8. Кубик эки жолу ыргытылат. Түшкөн сандардын суммасы 7 болушунун ыктымалдуулугу? — \(\frac16\). 6 жагымдуу учур / 36.

9. \(\log_3 x=-2\) теңдемесинин тамыры? — \(\frac19\). \(x=3^{-2}\).

10. \(\cos^2 40^\circ+\cos^2 50^\circ=?\) — 1. \(\cos50^\circ=\sin40^\circ\), демек \(\cos^2+\sin^2=1\).

11. Жактары 7, 24, 25 болгон үч бурчтуктун аянты? — 84. Тик бурчтуу (\(7^2+24^2=25^2\)): \(\frac{7\cdot24}{2}=84\).

12. Радиусу 12, борбордук бурчу \(150^\circ\) болгон сектордун аянты? — \(60\pi\). \(\pi\cdot144\cdot\frac{150}{360}=60\pi\).

13. \(2^{x+1}=32\) теңдемесинин тамыры? — 4. \(x+1=5\).

14. \(\sin x=\frac12\) теңдемесинин \([0;2\pi]\) аралыгындагы тамырларынын суммасы? — \(\pi\). \(\frac{\pi}{6}+\frac{5\pi}{6}=\pi\).

15. \(f(x)=x^3-3x\) функциясынын экстремум чекиттери? — max: \(x=-1\), min: \(x=1\). \(f'=3x^2-3=0\).

16. \(\vec a=(3;-1),\ \vec b=(1;2)\). \(\vec a\cdot\vec b=?\) — 1. \(3\cdot1+(-1)\cdot2=1\).

17. \(x^2+y^2-6x+8y=0\) айланасынын борбору жана радиусу? — \((3;-4),\ R=5\). \((x-3)^2+(y+4)^2=25\).

18. \(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=?\) — 4. \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\).

19. \(y=\ln(\sin x)\) функциясынын туундусу? — \(\operatorname{ctg} x\). \(\frac{\cos x}{\sin x}\).

20. Тик бурчтуу үч бурчтуктун гипотенузасы 13, катети 5. Аянты? — 30. Экинчи катет 12, \(\frac{5\cdot12}{2}=30\).

21. Кыры 3 болгон кубдун диагоналы? — \(3\sqrt3\). \(a\sqrt3\).

22. Цилиндр: \(R=2,\ h=5\). Толук бети? — \(28\pi\). \(2\pi R^2+2\pi Rh=8\pi+20\pi\).

23. \(\log_2 5\cdot\log_5 8=?\) — 3. \(\log_2 8=3\).

24. \(C_n^2=15\) болсо \(n=?\) — 6. \(\frac{n(n-1)}{2}=15\).

25. \(\operatorname{tg}\alpha=2\) болсо \(\sin2\alpha=?\) — \(\frac45\). \(\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=\frac45\).

26. \(9^x-4\cdot3^x+3=0\) теңдемесинин тамырларынын суммасы? — 1. \(t=3^x\): \(t^2-4t+3=0\Rightarrow t=1;3\Rightarrow x=0;1\).

27. Параллелограммдын жактары 5 жана 8, бурчу \(30^\circ\). Аянты? — 20. \(5\cdot8\cdot\sin30^\circ\).

28. \(\sqrt{x+2}=x\) теңдемесинин тамыры? — 2. \(x^2=x+2,\ x\ge0\Rightarrow x=2\) (\(x=-1\) бөтөн).

29. \(3^{100}\) санынын акыркы цифрасы? — 1. Цикл 3, 9, 7, 1; \(100\equiv0\pmod4\).

30. \(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac12\) болсо \(\sin2\alpha=?\) — \(-\frac34\). \((\sin+\cos)^2=1+\sin2\alpha=\frac14\).

31. Трапециянын негиздери 6 жана 10, бийиктиги 4. Аянты? — 32. \(\frac{6+10}{2}\cdot4\).

32. 4 ак, 6 кара шардан эки шар тандалат. Экөө тең ак болушунун ыктымалдуулугу? — \(\frac{2}{15}\). \(\frac{C_4^2}{C_{10}^2}=\frac{6}{45}\).

---

Жооптор жыйнагы: 4; ¼; 79; 242; 5; \(2+\sqrt3\); 10; ⅙; 1/9; 1; 84; \(60\pi\); 4; \(\pi\); \(-1\) жана \(1\); 1; \((3;-4),5\); 4; \(\operatorname{ctg}x\); 30; \(3\sqrt3\); \(28\pi\); 3; 6; 4/5; 1; 20; 2; 1; \(-3/4\); 32; \(2/15\).

Керек болсо — ушул 32 тестти жоопторсуз бланк түрүндө (окуучуга бериш үчүн) же башка предмет боюнча ушундай форматта түзүп берем.

Бул баракта эки белгисиздүү теңдемелер системасын чыгаруунун өзгөчө ыкмасы — бир тектуу теңдеме (homogeneous equation) ыкмасы түшүндүрүлгөн.

Келгиле, муну кадам-кадамга бөлүп түшүндүрөлү.

1. Негизги идея

Эгерде системанын бир теңдемеси \(ax^2 + bxy + cy^2 = 0\) түрүндө болсо, аны бир тектуу деп атайбыз. Мындай теңдеменин эки тарабын тең \(y^2\) ка бөлүп, \(t = \frac{x}{y}\) деген жаңы белгисизди киргизсек болот. Ошондо биз квадраттык теңдеме алабыз жана андан \(x\)-ти \(y\) аркылуу туюнтуп (\(x = ky\)), аны экинчи теңдемеге коюп чыгарабыз.

---

2. 2-мисалды түшүндүрүү

Система: \[ \begin{cases} x^2 - 5xy + 6y^2 = 0 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} \]

1-кадам. Биринчи теңдеме — бир тектуу. Анын эки тарабын тең \(y^2\) ка бөлөбүз (эгер \(y=0\) болсо, анда \(x=0\) болуп, экинчи теңдеме аткарылбайт, ошондуктан \(y \neq 0\) деп эсептейбиз): \[ \left(\frac{x}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{y}\right) + 6 = 0 \] \(t = \frac{x}{y}\) деп белгилесек: \[ t^2 - 5t + 6 = 0 \] Бул теңдеменин тамырлары: \(t_1 = 2\), \(t_2 = 3\).

Демек, \(\frac{x}{y} = 2\) же \(\frac{x}{y} = 3\). Бул бизге эки багытты берет: \(x = 2y\) же \(x = 3y\).

2-кадам. Эми бул байланыштарды системанын экинчи теңдемесине (\(x^2 + y^2 = 10\)) кезек менен коёбуз.

1-учур: \(x = 2y\). \[ (2y)^2 + y^2 = 10 \implies 4y^2 + y^2 = 10 \implies 5y^2 = 10 \implies y^2 = 2 \] Ошондуктан \(y = \pm\sqrt{2}\). Андан \(x = 2y = \pm 2\sqrt{2}\) келип чыгат. Бул жерден эки чыгарылыш алабыз: \((2\sqrt{2};\ \sqrt{2})\) жана \((-2\sqrt{2};\ -\sqrt{2})\).

2-учур: \(x = 3y\). \[ (3y)^2 + y^2 = 10 \implies 9y^2 + y^2 = 10 \implies 10y^2 = 10 \implies y^2 = 1 \] Ошондуктан \(y = \pm 1\). Андан \(x = 3y = \pm 3\) келип чыгат. Дагы эки чыгарылыш алабыз: \((3;\ 1)\) жана \((-3;\ -1)\).

Жообу: \((2\sqrt{2};\ \sqrt{2}),\ (-2\sqrt{2};\ -\sqrt{2}),\ (3;\ 1),\ (-3;\ -1)\).

---

3. 3-мисалдын идеясы (кийинки ыкма)

Бул жерде система: \[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ x^2 + xy = 2 \end{cases} \] Бул системада дароо эле бир тектуу теңдеме жок. Китепте айтылгандай, аны жасалма жол менен бир тектуу теңдемеге келтирип алабыз: биринчи теңдемени \(d_2 = 2\) ге көбөйтүп, экинчисин \((-d_1) = -1\) ге көбөйтүп, анан кошобуз: \[ 2(x^2 - y^2) - 1(x^2 + xy) = 2\cdot1 - 1\cdot2 \] \[ 2x^2 - 2y^2 - x^2 - xy = 2 - 2 \] \[ x^2 - xy - 2y^2 = 0 \] Мына, бир тектуу теңдеме пайда болду! Анан муну 2-мисалдагыдай эле \(y^2\) ка бөлүп (\(t = \frac{x}{y}\)), чыгарасыз: \[ t^2 - t - 2 = 0 \implies t_1 = 2, \quad t_2 = -1 \] Демек, \(x = 2y\) же \(x = -y\). Муну системанын биринчи (же экинчи) теңдемесине коюп, ар бир учурда \(x\) жана \(y\)-ти табасыз. (Текшерип көрсөңүз, \(x = -y\) учурда чыгарылыш болбойт, ал эми \(x = 2y\) учурда \((2/\sqrt{3};\ 1/\sqrt{3})\) жана \((-2/\sqrt{3};\ -1/\sqrt{3})\) чыгарылыштары келип чыгат).

---

Кыскача алганда: бир тектуу теңдеме көрсөңүз — эки тарабын \(y^2\) ка бөлүп, \(t = \frac{x}{y}\) алмаштыруусун киргизиңиз. Андан \(x = k_1y\) жана \(x = k_2y\) байланыштарын алып, аларды экинчи теңдемеге коюп чыгарыңыз. Эгер системада мындай теңдеме жок болсо, теңдемелерди бири-бирине көбөйтүп-кошуу жолу менен ага айландырыңыз.