Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \(\displaystyle -\frac{7}{25}\)
2. а) \(1\); б) \(\sin 4\alpha\)
3. Тождество верно.
4. Возрастает на \((-\infty;3]\), убывает на \([3;+\infty)\). Точка максимума \(x=3\), максимум \(y(3)=7\). Точек минимума нет.

---

Подробное решение

1) Упростить и вычислить

В первой строке выражение читаю как
\[ \sin(\alpha-\beta)+\sin\beta\cos\alpha. \]

Применяем формулу синуса разности: \[ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta. \]

Тогда \[ \sin(\alpha-\beta)+\sin\beta\cos\alpha = \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta+\sin\beta\cos\alpha. \]

Слагаемые \(-\cos\alpha\sin\beta\) и \(+\sin\beta\cos\alpha\) сокращаются, остаётся: \[ \sin\alpha\cos\beta. \]

Подставляем данные: \[ \sin\alpha=\frac35,\qquad \cos\beta=-\frac7{15}. \]

\[ \frac35\cdot\left(-\frac7{15}\right) = -\frac{21}{75} = -\frac7{25}. \]

Ответ: \(\displaystyle -\frac7{25}\).

---

2) Упростить выражения

а) \(\cos 2\alpha+2\sin^2\alpha\)

Используем формулу \[ \cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha. \]

Тогда \[ \cos2\alpha+2\sin^2\alpha = 1-2\sin^2\alpha+2\sin^2\alpha = 1. \]

Ответ: \(1\).

б) \(4\sin\alpha\cos\alpha\cos2\alpha\)

Сначала: \[ 4\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot(2\sin\alpha\cos\alpha)=2\sin2\alpha. \]

Тогда \[ 4\sin\alpha\cos\alpha\cos2\alpha = 2\sin2\alpha\cos2\alpha. \]

Используем формулу двойного угла: \[ 2\sin x\cos x=\sin2x. \]

Значит, \[ 2\sin2\alpha\cos2\alpha=\sin4\alpha. \]

Ответ: \(\sin4\alpha\).

---

3) Доказать, что

\[ \cos75^\circ+\cos45^\circ-\cos15^\circ=0 \]

Рассмотрим разность: \[ \cos75^\circ-\cos15^\circ. \]

По формуле разности косинусов: \[ \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}. \]

Тогда \[ \cos75^\circ-\cos15^\circ = -2\sin\frac{75^\circ+15^\circ}{2}\sin\frac{75^\circ-15^\circ}{2} = -2\sin45^\circ\sin30^\circ. \]

Подставляем значения: \[ -2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = -\frac{\sqrt2}{2}. \]

Теперь всё выражение: \[ \cos75^\circ+\cos45^\circ-\cos15^\circ = \left(\cos75^\circ-\cos15^\circ\right)+\cos45^\circ = -\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=0. \]

Что доказано: \(\cos75^\circ+\cos45^\circ-\cos15^\circ=0\).

---

4) Функция \(y=-x^2+6x-2\)

Найдём производную: \[ y'=-2x+6. \]

Приравняем к нулю: \[ -2x+6=0, \] \[ x=3. \]

Определим знаки производной: \[ y'>0 \quad \text{при } x<3, \] \[ y'<0 \quad \text{при } x>3. \]

Значит, при переходе через \(x=3\) производная меняет знак с «+» на «−». Это точка максимума.

Найдём значение функции: \[ y(3)=-3^2+6\cdot3-2=-9+18-2=7. \]

Итак:

• функция возрастает на \((-\infty;3]\);
• функция убывает на \([3;+\infty)\);
• точка максимума: \(x=3\), максимум \(y=7\);
• точек минимума нет.

Ответ: возрастает на \((-\infty;3]\), убывает на \([3;+\infty)\); \(\max y=y(3)=7\).