Керектүү жерин жазып берчи дептерге жазганга

Конспект: «Уравнение $\cos t = a$»

1. Жалпы жобо $\cos t = a$ теңдемесинин чыгарылышы $a$ нын маанисине жараша болот:

• $|a| > 1$ болсо — чыгарылышы жок (себеби $|\cos t| \le 1$);
• $|a| \le 1$ болсо — чыгарылышы бар жана жалпы формула менен жазылат: $$t = \pm \arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2. Аныктама $\arccos a$ — бул $[0; \pi]$ кесиндисиндеги, косинусу $a$ га барабар болгон сан: $$\cos(\arccos a) = a, \quad 0 \le \arccos a \le \pi.$$

3. Жеке (өзгөчө) учурлар

$n \in \mathbb{Z}$ — бардык учурда.

4. Мисалдар

1. $\cos x = \dfrac{1}{2}$: $$\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} ;\Rightarrow; x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

2. $\cos x = -0{,}2756$: $$x \approx \pm 1{,}8500 + 2\pi n \quad (\text{калькулятор менен}).$$

3. $\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $$2x - \frac{\pi}{4} = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n ;\Rightarrow; x = \frac{\pi}{8} \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n.$$

5. Эскертүү (негизги идея) Бирдик айланада $\cos t$ — чекиттин абсциссасы. $|a| < 1$ болгондо горизонталь түз сызык айлананы эки чекитте кесип өтөт, ошондуктан $\pm$ белгиси пайда болот. $a = \pm 1$ болгондо чекит бирөө гана — ошол үчүн $\pm$ жоголот (өзгөчө учурлар). Косинустун мезгили $2\pi$, ошондуктан $+2\pi n$ кошулат.

6. Кийинки темага өтмө $\sin t = a$:

• $|a| > 1$ — чыгарылышы жок;
• $|a| \le 1$ болсо $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ кесиндисинде жалгыз чыгарылыш бар: $t = \arcsin a$.

Жалпы формула

$|a| \le 1$ болгондо $\sin t = a$ теңдемесинин чыгарылыштары: $$t = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

$|a| > 1$ болсо — чыгарылышы жок (себеби $-1 \le \sin t \le 1$).

Ошол эле жоопту эки серия түрүндө жазууга да болот $$t = \arcsin a + 2\pi n \quad \text{жана} \quad t = \pi - \arcsin a + 2\pi n.$$ Бул эки жазуу бирдей маанини берет.

Жеке учурлар

Мисалдар

1. $\sin x = \dfrac{1}{2}$: $\arcsin\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}$, демек $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

2. $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{3}$, демек $$x = (-1)^n\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + \pi n.$$

3. $\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$: $$2x + \frac{\pi}{3} = (-1)^n\frac{\pi}{4} + \pi n ;\Rightarrow; x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^n\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}.$$

Эмнеден ушундай чыгат

• $\arcsin a$ — бул $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ кесиндисиндеги, синусу $a$ га барабар болгон жалгыз сан.
• Бирдик айланада $\sin t$ — чекиттин ординатасы. $y = a$ түз сызыгы айлананы эки чекитте кесип өтөт: бирине $t = \arcsin a$, экинчисине $t = \pi - \arcsin a$ туура келет (себеби $\sin(\pi - t) = \sin t$).
• Ушул эки серияны бириктиргенде $(-1)^n$ пайда болот: $n$ жуп болгондо $\arcsin a + 2\pi k$, $n$ так болгондо $\pi - \arcsin a + 2\pi k$ чыгат.
• Мезгил $2\pi$, ошондуктан $+2\pi n$ (же жалпы жазууда $+\pi n$) кошулат.

Текшерүү

• 1-мисал: $n = 0$ → $x = \dfrac{\pi}{6}$, $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ ✓; $n = 1$ → $x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6}$, $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ ✓.
• 2-мисал: $n = 0$ → $x = -\dfrac{\pi}{3}$, $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ✓.
• 3-мисал: $n = 0$ → $x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{8} = -\dfrac{\pi}{24}$; анда $2x + \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{4}$, $\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ✓.