Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \(-\dfrac{7}{25}\)
2. а) \(1\); б) \(\sin 4\alpha\)
3. Тождество верно.
4. Функция возрастает на \((-\infty;3]\), убывает на \([3;+\infty)\). Максимум: \(y(3)=7\), точка \((3;7)\). Минимума нет.

Как это получается

1. Используем формулу синуса разности: \[ \sin(\alpha-\beta)+\sin\beta\cos\alpha = (\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)+\cos\alpha\sin\beta. \] Слагаемые с \(\sin\beta\cos\alpha\) сокращаются: \[ =\sin\alpha\cos\beta. \] Подставляем: \[ \sin\alpha\cos\beta=\frac35\cdot\left(-\frac7{15}\right) =-\frac{21}{75}=-\frac7{25}. \]

2. а) По формуле двойного угла: \[ \cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha. \] Тогда \[ \cos2\alpha+2\sin^2\alpha =1-2\sin^2\alpha+2\sin^2\alpha=1. \]

б) Здесь записано произведение: \[ 4\sin\alpha\cos\alpha\cos2\alpha. \] Так как \(2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha\), получаем: \[ 4\sin\alpha\cos\alpha\cos2\alpha =2\sin2\alpha\cos2\alpha =\sin4\alpha. \]

3. Сгруппируем: \[ \cos75^\circ+\cos45^\circ-\cos15^\circ = \cos45^\circ+(\cos75^\circ-\cos15^\circ). \] По формуле разности косинусов: \[ \cos75^\circ-\cos15^\circ = -2\sin45^\circ\sin30^\circ = -2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = -\frac{\sqrt2}{2}. \] А \(\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\), поэтому: \[ \frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=0. \]

4. Выделим полный квадрат: \[ y=-x^2+6x-2=7-(x-3)^2. \] Квадрат \((x-3)^2\) неотрицателен, значит, \[ y\le 7, \] причём \(y=7\) при \(x=3\). Парабола ветвями вниз, поэтому до \(x=3\) функция возрастает, после \(x=3\) убывает.