Теоремы курса 7–8 класса (геометрия) — полный перечень

Ниже — формулировки. Каждую пару «признак ↔ свойство» помечаю: это главный источник путаницы на контрольных.

7 класс

Углы

1. Смежные углы. Сумма смежных углов равна \(180^\circ\).
2. Вертикальные углы. Вертикальные углы равны.
3. Перпендикулярные прямые. Две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении образуют четыре прямых угла; через точку, не лежащую на прямой, проходит единственный перпендикуляр к ней.

Равенство треугольников (признаки)

4. I признак. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны.
5. II признак. По стороне и двум прилежащим углам.
6. III признак. По трём сторонам.

Равнобедренный треугольник

7. Свойство. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
8. Обратная теорема (признак). Если в треугольнике два угла равны, он равнобедренный.
9. Медиана, биссектриса, высота. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой (и наоборот: биссектриса и высота к основанию — тоже медиана).

Углы треугольника

10. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
11. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
12. Соотношение сторон и углов. Против большей стороны лежит больший угол, и обратно.
13. Неравенство треугольника. Каждая сторона меньше суммы двух других; следствие — каждая сторона больше их разности.

Параллельные прямые

14. Признаки параллельности (3). Прямые параллельны, если: накрест лежащие углы равны; соответственные углы равны; сумма односторонних углов равна \(180^\circ\).
15. Аксиома параллельных. Через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
16. Свойства параллельных прямых (обратные к п. 14). При параллельных прямых и секущей накрест лежащие углы равны, соответственные равны, сумма односторонних равна \(180^\circ\).

Прямоугольный треугольник

17. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\).
18. Катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы; обратная теорема: если катет равен половине гипотенузы, он лежит против угла \(30^\circ\).
19. Признаки равенства прямоугольных треугольников: по двум катетам; по катету и прилежащему острому углу; по катету и противолежащему углу; по гипотенузе и острому углу; по гипотенузе и катету.

Построения

20. Задачи на построение циркулем и линейкой: построение угла, равного данному; биссектрисы угла; середины отрезка; перпендикуляра к прямой; прямоугольного треугольника по элементам.

8 класс

Четырёхугольники

21. Сумма углов выпуклого \(n\)-угольника равна \(180^\circ(n-2)\); сумма внешних углов — \(360^\circ\).
22. Свойства параллелограмма. Противоположные стороны равны; противоположные углы равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам.
23. Признаки параллелограмма (3). Четырёхугольник — параллелограмм, если: две противоположные стороны равны и параллельны; противоположные стороны попарно равны; диагонали делятся точкой пересечения пополам.
24. Прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны (свойство); если диагонали параллелограмма равны, то он прямоугольник (признак).
25. Ромб. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойство); если диагонали параллелограмма перпендикулярны (или делят углы пополам), то это ромб (признак).
26. Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба одновременно.
27. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, они отсекут равные отрезки и на другой стороне; обобщённая форма — параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки.
28. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
29. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Площади

30. Площадь прямоугольника \(S=ab\); квадрата \(S=a^2\).
31. Площадь параллелограмма \(S=ah\) (высота к стороне).
32. Площадь треугольника \(S=\tfrac12 ah\); следствие: площади треугольников с равными высотами относятся как их основания.
33. Площадь трапеции \(S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h\).
34. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике \(a^2+b^2=c^2\).
35. Обратная теорема Пифагора (признак). Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.
36. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\dfrac{S_1}{S_2}=k^2\).

Подобие

37. Признаки подобия (3). По двум равным углам; по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними; по трём пропорциональным сторонам.
38. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Высота из вершины прямого угла: \(h^2=a_c\cdot b_c\); катет: \(a^2=c\cdot a_c\) (где \(a_c,b_c\) — проекции катетов на гипотенузу \(c\)).

Окружность

39. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам; обратная теорема: диаметр, проходящий через середину хорды (не диаметра), перпендикулярен ей.
40. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания; обратная теорема — признак касательной (если прямая перпендикулярна радиусу в его конце, лежащем на окружности, она касательная).
41. Отрезки касательных из одной точки равны.
42. Теорема о вписанном угле. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу (половине дуги).
43. Следствия: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; угол, опирающийся на диаметр, — прямой (\(90^\circ\)); угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой в нём.
44. Произведение отрезков пересекающихся хорд: \(AM\cdot MB=CM\cdot MD\).
45. Касательная и секущая: \(AB^2=AC\cdot AD\) (квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть).
46. Вписанная окружность. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну; её центр — точка пересечения биссектрис.
47. Описанная окружность. Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну; её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
48. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.
49. Свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна \(180^\circ\); признак — если сумма противоположных углов \(180^\circ\), четырёхугольник можно вписать в окружность.

Алгебра, 8 класс

50. Теорема Виета. Для \(x^2+px+q=0\): \(x_1+x_2=-p\), \(x_1x_2=q\); обратная теорема — по сумме и произведению восстанавливаются корни.
51. Корень из произведения: \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\); корень из дроби: \(\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\) при \(a\ge0\), \(b>0\).

Скажи, какие именно нужны дальше — могу разобрать доказательство любой из них (например, Пифагора или вписанного угла) или показать, как отличать признак от свойства на конкретных задачах.