реши номер 23 только б и все
Краткий ответ: тождество
\[
\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}-\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=2\ctg\alpha
\]
верно при \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\).
Доказательство
Так как \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\), то \(\sin\alpha>0\). Преобразуем каждый корень:
\[ \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\alpha)^2}{1-\cos^2\alpha}} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]
Аналогично:
\[ \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} = \sqrt{\frac{(1-\cos\alpha)^2}{1-\cos^2\alpha}} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]
Вычитаем:
\[ \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\ctg\alpha. \]
Следовательно, левая часть равна правой — тождество доказано.
Проверка: при \(\alpha=\frac{\pi}{4}\) слева получается \(2\), справа \(2\ctg\frac{\pi}{4}=2\). Всё сходится.
Обсуждение
3 сообщенияЗапиши все это в тетради пожалуйста мне не понятно
Пиши в тетрадь так:
№ 23 (б)
Доказать тождество:
\[ \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}-\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} =2\ctg\alpha \]
Доказательство
Так как \(\alpha\) — острый угол, то \(\sin\alpha>0\). Используем формулу:
\[ 1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha. \]
Рассмотрим первый корень:
\[ \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\alpha)^2}{1-\cos^2\alpha}} = \]
\[ = \sqrt{\frac{(1+\cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha}} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]
Аналогично второй корень:
\[ \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} = \sqrt{\frac{(1-\cos\alpha)^2}{1-\cos^2\alpha}} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]
Теперь подставим в исходное выражение:
\[ \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \]
\[ = \frac{1+\cos\alpha-1+\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\ctg\alpha. \]
Так как
\[ \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, \]
то левая часть равна правой. Тождество доказано.
\[ \boxed{\text{Ч. т. д.}} \]
Главная идея: нужно умножить числитель и знаменатель дроби под корнем на такое выражение, чтобы в знаменателе появилась формула \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\).
Упр 60
