выполните задания
Краткие ответы:
- \(F(x)=x^2+x^4+C\)
- \(F(x)=2x^2+3x\)
- \(\displaystyle \int_1^2 (x^5+3)\,dx=\frac{27}{2}=13{,}5\)
- \(S=\dfrac{\sqrt3-1}{2}\) кв. ед.
1. Первообразная функции \(f(x)=2x+4x^3\)
Используем правило: \[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. \]
\[ F(x)=\int(2x+4x^3)\,dx =2\cdot\frac{x^2}{2}+4\cdot\frac{x^4}{4}+C =x^2+x^4+C. \]
Проверка: \[ F'(x)=2x+4x^3=f(x). \]
2. Первообразная, проходящая через \(M(0;0)\)
Сначала находим общий вид первообразной: \[ F(x)=\int(4x+3)\,dx =4\cdot\frac{x^2}{2}+3x+C =2x^2+3x+C. \]
Так как график проходит через \(M(0;0)\): \[ F(0)=0. \] Подставляем: \[ 2\cdot0^2+3\cdot0+C=0, \] \[ C=0. \]
Значит, \[ \boxed{F(x)=2x^2+3x}. \]
Проверка: \(F'(x)=4x+3\), и \(F(0)=0\).
3. Определённый интеграл
\[ \int_1^2 (x^5+3)\,dx =\left.\frac{x^6}{6}+3x\right|_1^2. \]
Считаем: \[ F(2)=\frac{64}{6}+6=\frac{32}{3}+6=\frac{50}{3}, \] \[ F(1)=\frac{1}{6}+3=\frac{19}{6}. \]
Тогда: \[ \frac{50}{3}-\frac{19}{6} =\frac{100}{6}-\frac{19}{6} =\frac{81}{6} =\frac{27}{2}. \]
\[ \boxed{\frac{27}{2}=13{,}5} \]
4. Площадь фигуры
Фигура ограничена графиком \(y=\sin x\), осью \(y=0\) и прямыми \[ x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{\pi}{3}. \]
На этом промежутке \(\sin x>0\), поэтому площадь: \[ S=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin x\,dx. \]
Первообразная: \[ \int\sin x\,dx=-\cos x. \]
Значит: \[ S=\left[-\cos x\right]_{\pi/6}^{\pi/3} =-\cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{6}. \]
Так как \[ \cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\qquad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}, \] получаем: \[ S=\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 =\boxed{\frac{\sqrt3-1}{2}}. \]
Это примерно \(0{,}366\) кв. ед.
Главный принцип: первообразная — это «обратная» операция к производной, а определённый интеграл считается по формуле Ньютона–Лейбница: \[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). \]
