120. 121 ответ понятней
Коротко — ответы
№ 120 а) \(\left(-\infty;-7\right)\cup\left(-\frac14;+\infty\right)\); б) \(\left(-\infty;\frac32\right]\cup\left[\frac53;+\infty\right)\); в) \(x\in\mathbb R\) — подходит любое число; г) \(\left(-\infty;\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup\left(\frac{9+\sqrt{37}}{22};+\infty\right)\).
№ 121 а) \(\left(-\infty;-1\right)\cup\left(\frac92;+\infty\right)\); б) \(x\ne\frac14\), то есть \(\left(-\infty;\frac14\right)\cup\left(\frac14;+\infty\right)\).
Общий принцип
- Переносим всё в левую часть, раскрываем скобки и приводим подобные: \[ ax^2+bx+c>0\quad(\text{или }<,\ \ge,\ \le). \]
- Находим корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\).
- Если \(a>0\), парабола ветвями вверх: между корнями выражение отрицательно, снаружи — положительно. Для знака \(>0\) берём внешние промежутки, для \(<0\) — внутренний. В нестрогих неравенствах корни включаем.
- Если корней нет, выражение сохраняет один знак на всей числовой прямой.
- Проверяем: подставляем любое число из ответа.
№ 120
а)
\[
3x^2+40x+10>-x^2+11x+3
\]
Переносим:
\[
4x^2+29x+7>0.
\]
\[
D=29^2-4\cdot4\cdot7=841-112=729=27^2.
\]
Корни:
\[
x=\frac{-29\pm27}{8},\qquad x_1=-7,\quad x_2=-\frac14.
\]
Ветви вверх, нужен знак «+» снаружи:
\[
x<-7\quad\text{или}\quad x>-\frac14.
\]
б)
\[
9x^2-x+9\ge3x^2+18x-6
\]
\[
6x^2-19x+15\ge0.
\]
\[
D=19^2-4\cdot6\cdot15=361-360=1.
\]
Корни:
\[
x=\frac{19\pm1}{12},\qquad x_1=\frac32,\quad x_2=\frac53.
\]
Так как знак \(\ge0\), корни включаем:
\[
x\le\frac32\quad\text{или}\quad x\ge\frac53.
\]
в)
Раскрываем правую часть:
\[
(3x-5)(2x+6)=6x^2+8x-30.
\]
Неравенство:
\[
2x^2+8x-111<6x^2+8x-30.
\]
Переносим:
\[
-4x^2-81<0.
\]
Это верно всегда, потому что \(-4x^2\le0\), а \(-81<0\). Значит:
\[
x\in\mathbb R.
\]
г)
Раскрываем скобки:
\[
(5x+1)(3x-1)=15x^2-2x-1,
\]
\[
(4x-1)(x+2)=4x^2+7x-2.
\]
Получаем:
\[
15x^2-2x-1>4x^2+7x-2
\]
\[
11x^2-9x+1>0.
\]
\[
D=(-9)^2-4\cdot11\cdot1=81-44=37.
\]
Корни:
\[
x=\frac{9\pm\sqrt{37}}{22}.
\]
Ветви вверх, знак «+» снаружи:
\[
x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\quad\text{или}\quad x>\frac{9+\sqrt{37}}{22}.
\]
№ 121
а)
\[
2x(3x-1)>4x^2+5x+9
\]
\[
6x^2-2x>4x^2+5x+9
\]
\[
2x^2-7x-9>0.
\]
\[
D=(-7)^2-4\cdot2\cdot(-9)=49+72=121=11^2.
\]
Корни:
\[
x=\frac{7\pm11}{4},\qquad x_1=-1,\quad x_2=\frac92.
\]
Ветви вверх, знак «+» снаружи:
\[
x<-1\quad\text{или}\quad x>\frac92.
\]
б)
\[
(5x+7)(x-2)=5x^2-3x-14.
\]
Неравенство:
\[
5x^2-3x-14<21x^2-11x-13
\]
\[
-16x^2+8x-1<0.
\]
Умножим на \(-1\), поменяв знак:
\[
16x^2-8x+1>0.
\]
Но
\[
16x^2-8x+1=(4x-1)^2.
\]
Квадрат больше нуля всегда, кроме случая \(4x-1=0\), то есть \(x=\frac14\). Поэтому:
\[
x\ne\frac14.
\]
Проверка
- В 120а при \(x=0\): \(10>3\) — верно, значит \(0\) входит в ответ.
- В 121б при \(x=\frac14\) обе части равны, поэтому эта точка исключена; при \(x=0\): \(-14<-13\) — верно.
- В 121а при \(x=5\): \(140>134\) — верно, значит \(5\) входит в ответ.
Главное: после переноса всегда сводим к квадратному неравенству и расставляем знаки по параболе.
Обсуждение
2 сообщенияОтвет и понятнее
Ответы
№ 120
а) \(\left(-\infty;-7\right)\cup\left(-\frac14;+\infty\right)\)
б) \(\left(-\infty;\frac32\right]\cup\left[\frac53;+\infty\right)\)
в) \(x\in\mathbb R\) — подходит любое число
г) \(\left(-\infty;\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup\left(\frac{9+\sqrt{37}}{22};+\infty\right)\)
№ 121
а) \(\left(-\infty;-1\right)\cup\left(\frac92;+\infty\right)\)
б) \(x\ne\frac14\), то есть \(\left(-\infty;\frac14\right)\cup\left(\frac14;+\infty\right)\)
Как понять решение
Почти все такие неравенства решаются по одному плану:
- Перенеси всё в левую часть, чтобы справа остался \(0\).
- Раскрой скобки и приведи подобные — получится квадратное выражение.
- Найди его корни.
- Если коэффициент перед \(x^2\) положительный, парабола идёт ветвями вверх:
\[ + \quad -\quad + \]
То есть снаружи корней знак «+», между корнями знак «−».
- Если неравенство \(>0\) — берём снаружи.
- Если \(<0\) — берём между корнями.
- Если знак \(\ge\) или \(\le\), то корни включаем.
- Если знак строгий \(>\) или \(<\), корни не включаем.
№ 120
а)
\[
3x^2+40x+10>-x^2+11x+3
\]
Переносим:
\[
4x^2+29x+7>0
\]
Корни:
\[
x=-7,\qquad x=-\frac14
\]
Ветви вверх, нужен «+», значит берём снаружи:
\[
x<-7 \quad\text{или}\quad x>-\frac14
\]
б)
\[
9x^2-x+9\ge3x^2+18x-6
\]
\[
6x^2-19x+15\ge0
\]
Корни:
\[
x=\frac32,\qquad x=\frac53
\]
Знак \(\ge0\), поэтому корни включаем:
\[
x\le\frac32 \quad\text{или}\quad x\ge\frac53
\]
в)
После раскрытия скобок:
\[
-4x^2-81<0
\]
Слева всегда отрицательное число, потому что \(-4x^2\le0\), а \(-81<0\).
Значит, подходит любое \(x\).
г)
После упрощения:
\[
11x^2-9x+1>0
\]
Корни:
\[
x=\frac{9\pm\sqrt{37}}{22}
\]
Нужен знак «+», значит:
\[
x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}
\quad\text{или}\quad
x>\frac{9+\sqrt{37}}{22}
\]
№ 121
а)
\[
2x(3x-1)>4x^2+5x+9
\]
\[
6x^2-2x>4x^2+5x+9
\]
\[
2x^2-7x-9>0
\]
Корни:
\[
x=-1,\qquad x=\frac92
\]
Ветви вверх, нужен «+»:
\[
x<-1 \quad\text{или}\quad x>\frac92
\]
б)
\[
(5x+7)(x-2)<21x^2-11x-13
\]
После упрощения:
\[
16x^2-8x+1>0
\]
Но
\[
16x^2-8x+1=(4x-1)^2
\]
Квадрат всегда больше нуля, кроме случая, когда он равен нулю:
\[
4x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac14
\]
Значит, подходят все \(x\), кроме \(\frac14\).
Быстрая проверка:
В 120а при \(x=0\): \(10>3\) — верно.
В 121б при \(x=0\): \(-14<-13\) — верно, а при \(x=\frac14\) получается равенство, поэтому эта точка исключена.
