Реши
Краткие ответы:
а) \(x\in(-\infty;\tfrac32)\cup\{2\}\)
б) \(x=-3\)\(\displaystyle x=\frac{11\pm\sqrt{41}}{20}\)
№1а
\[ \frac{2x^2-6x+5}{2x-3}\le 1 \]
Переносим \(1\) влево:
\[ \frac{2x^2-6x+5-(2x-3)}{2x-3}\le0 \]
\[ \frac{2x^2-8x+8}{2x-3}\le0 \]
\[ \frac{2(x-2)^2}{2x-3}\le0 \]
ОДЗ: \(x\ne \frac32\), потому что знаменатель не равен нулю.
Квадрат \((x-2)^2\) неотрицателен. Дробь \(\le0\), если:
- знаменатель отрицателен:
\[ 2x-3<0 \Rightarrow x<\frac32; \] - или числитель равен нулю:
\[ x=2. \]
При \(x=2\) знаменатель не равен нулю, поэтому точка подходит.
Ответ:
\[
(-\infty;\tfrac32)\cup\{2\}
\]
№1б
\[ \frac{(x-1)^2+4(x+1)^2}{2}\le\frac{(3x+1)^2}{4} \]
Умножаем обе части на \(4>0\), знак неравенства не меняется:
\[ 2\left((x-1)^2+4(x+1)^2\right)\le(3x+1)^2 \]
Раскрываем скобки:
\[ 2(5x^2+6x+5)\le 9x^2+6x+1 \]
\[ 10x^2+12x+10\le9x^2+6x+1 \]
\[ x^2+6x+9\le0 \]
\[ (x+3)^2\le0 \]
Квадрат не может быть меньше нуля, а равен нулю только при \(x=-3\).
Ответ:
\[
x=-3
\]
№2
\[ |11x^2-10x+2|=|x^2+x| \]
Используем правило:
\[ |A|=|B|\iff A=B \quad \text{или}\quad A=-B \]
Случай 1
\[ 11x^2-10x+2=x^2+x \]
\[ 10x^2-11x+2=0 \]
\[ D=(-11)^2-4\cdot10\cdot2=121-80=41 \]
\[ x=\frac{11\pm\sqrt{41}}{20} \]
Случай 2
\[ 11x^2-10x+2=-(x^2+x) \]
\[ 12x^2-9x+2=0 \]
\[ D=81-96=-15<0 \]
Корней нет.
Ответ:
\[
\boxed{x=\frac{11\pm\sqrt{41}}{20}}
\]
Ключевая идея: в №1 нельзя просто умножать на знаменатель, пока неизвестен его знак. Нужно перенести всё в одну часть и применять метод интервалов. В №2 модули удобно раскрывать через два случая \(A=B\) и \(A=-B\).
