Толук түшүндүрмө (кадам-кадам)

1-мисал. Туюнтманы жөнөкөйлөтүү

$$\left(\frac{x^{\frac12}}{x^{\frac12}-y^{\frac12}}-\frac{y}{x-x^{\frac12}y^{\frac12}}\right):\frac{x^{\frac12}+y^{\frac12}}{x^{\frac12}}$$

Адегенде эрежени эстеп ал: $x^{\frac12}=\sqrt{x}$ (жарым даража — бул квадраттык тамыр). Ошондуктан $x^{\frac12}\cdot x^{\frac12}=x$, ал эми $x^{\frac12}y^{\frac12}=\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}$.

Жеңилдетүү үчүн тамга киргизебиз: $a=\sqrt{x}$, $b=\sqrt{y}$. Анда $x=a^2$, $y=b^2$.

---

1-кадам. Экинчи бөлчөктүн бөлүмүн көбөйтүүчүлөргө ажыратабыз:

$$x-\sqrt{x}\sqrt{y}=a^2-ab=a(a-b)=\sqrt{x},(\sqrt{x}-\sqrt{y})$$

2-кадам. Эки бөлчөктү жалпы бөлүмгө келтиребиз. Жалпы бөлүм: $\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})$. Биринчи бөлчөктүн алымын жана бөлүмүн $\sqrt{x}$ га көбөйтөбүз:

$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}$$

3-кадам. Айырманы эсептейбиз:

$$\frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}-\frac{y}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}=\frac{x-y}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}$$

4-кадам. Алымды ажыратабыз ($x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$ — кыска көбөйтүү формуласы):

$$\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$$

$(\sqrt{x}-\sqrt{y})$ кыскарат — мына ошондуктан ажыратуу керек болду.

5-кадам. Бөлүүнү аткарабыз. Бөлүүчү дал ошол $\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$ болуп чыкты:

$$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}}:\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}}=1$$

Жооп: $1$.

Эмне үчүн 1? Бөлүнүүчү менен бөлүүчү окшош болуп калды. Кандайдыр бир санды өзүнө бөлсөң — дайым 1.

---

2-мисал. Тригонометриялык маанилер

Бул жерде эч кандай «айла» жок — таблицаны билүү керек:

бурч	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin$	$0$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$
$\cos$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac12$	$0$

а) $\cos30^\circ\cdot\sin60^\circ-\cos^245^\circ$

$$\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac14$$

Көбөйтүүдө алым менен алым, бөлүм менен бөлүм көбөйөт: $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$, $2\cdot2=4$.

б) $3\sin90^\circ-\cos^20^\circ$

$$\sin90^\circ=1,\quad \cos0^\circ=1\ \Rightarrow\ 3\cdot1-1^2=3-1=2$$

---

3-мисал. Жарым бурчтун косинусу

Берилди: $\cos\alpha=\dfrac18$ жана $\dfrac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$.

1-кадам. Формуланы жазабыз:

$$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$$

2-кадам. Сандарды коёбуз:

$$\frac{1+\frac18}{2}=\frac{\frac98}{2}=\frac{9}{16}\ \Rightarrow\ \cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{9}{16}}=\pm\frac34$$

3-кадам. Белгини тандайбыз. Бул эң маанилүү кадам. Бурчту экиге бөлөбүз:

$$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi \ \Rightarrow\ \frac{3\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\pi$$

$\dfrac{3\pi}{4}=135^\circ$, $\pi=180^\circ$. Демек $\dfrac{\alpha}{2}$ — экинчи чейректе. Ал жерде косинус терс (тригонометриялык айланада сол жакта жатат, ал эми косинус — $x$-координата).

$$\boxed{\cos\frac{\alpha}{2}=-\frac34}$$

Эскертүү: белгини текшербестен жөн гана $+\frac34$ деп жазсаң — жарым жооп болот. Мугалим ушунү текшерет.

---

4-мисал. Окшоштуктарды далилдөө

«Далилдөө» дегени — сол жагын оң жагына айландырып көрсөтүү (же тескерисинче). Сан койбойбуз, тамга менен иштейбиз.

а) $\dfrac{\sin^4\alpha}{\sin^2\alpha}+\cos^2\alpha=1$

1-кадам. Бөлчөктү кыскартабыз (даражаларды бөлгөндө азайтабыз): $\dfrac{\sin^4}{\sin^2}=\sin^2$.

2-кадам. $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ — бул негизги тригонометриялык окшоштук. Далилденди.

б) $\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha$

1-кадам. Сол жагын кыскартабыз: бир $\sin$ кыскарат, бир $\cos$ бөлүмдө калат:

$$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$$

2-кадам. Оң жак: $\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1$ (өз ара тескери сандар).

3-кадам. $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ болгондуктан $\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, демек $\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\sin}{\cos}\cdot\dfrac{\cos}{\sin}=1$. Эки жак тең $\operatorname{tg}\alpha$ жана $1$...

Тактап айтсак: сол жак $\operatorname{tg}\alpha$ га, оң жак $1$ ге барабар эмес — текшер: оң жак $\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1$, ал эми сол жак $\operatorname{tg}\alpha$. Бул окшоштук $\operatorname{tg}\alpha=1$ болгондо гана туура, башкача айтканда $\alpha=45^\circ$ болгондо. Демек б) пунктунда шартта ката болушу мүмкүн — сүрөттөгү оң жагын текшерип көр: балким оң жагы $\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha$ эмес, башка туюнтма болушу ыктымал.

в) $\dfrac{\sin(\alpha+\beta)-2\cos\alpha\sin\beta}{2\cos\alpha\cos\beta-\cos(\alpha+\beta)}=\operatorname{tg}(\alpha-\beta)$

1-кадам. Кошуу формулаларын эстеп ал:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

2-кадам. Алымды ачабыз:

$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta-2\cos\alpha\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

(эки $\cos\alpha\sin\beta$ нын бири кетип, бири калды)

3-кадам. Алынган туюнтма — бул айырманын синусу:

$$\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha-\beta)$$

4-кадам. Бөлүмдү ачабыз:

$$2\cos\alpha\cos\beta-(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)$$

5-кадам. Жыйынтык:

$$\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}=\operatorname{tg}(\alpha-\beta)$$

Далилденди.

---

Кыскача эреже: далилдөөдө «оор» жагын ачып, «жеңил» жакка алып келүү керек. Бул жерде кошуу формулалары гана колдонулду.