реши

Краткие ответы

\(\lg\) — десятичный логарифм, то есть по основанию \(10\).

№	Ответ	№	Ответ
1	\(4\)	16	\(\log_5 3\approx 0{,}683\)
2	\(-4\)	17	\(8\)
3	\(0\)	18	\(5\)
4	\(-2\)	19	\(-6\)
5	\(-2\)	20	\(-8\)
6	\(5\)	21	\(-4\)
7	\(2\)	22	\(1\)
8	\(5\)	23	\(4\)
9	\(4\)	24	\(\dfrac52\)
10	\(16\)	25	\(\dfrac{49}{2}\)
11	\(81\)	26	\(\dfrac{73}{3}\)
12	\(9\)	27	\(\dfrac{679}{27}\)
13	\(25\)	28	\(\dfrac{865}{216}\)
14	\(\dfrac43\)	29	\(5\)
15	\(\dfrac32\)	30	\(11\)

Как решать такие задания

Главная идея: логарифм — это показатель степени.

\[ \log_a b=c \iff a^c=b \]

Основные формулы:

\[ \log_a a^k=k \]

\[ \log_{a^n} b^m=\frac{m}{n}\log_a b \]

\[ a^{\log_a x}=x \]

Если основание степени уже содержит логарифм:

\[ (b^k)^{\log_b x}=x^k \]

Например:

\[ 25^{\log_5 2}=(5^2)^{\log_5 2} =(5^{\log_5 2})^2=2^2=4 \]

А если основание и аргумент — степени:

\[ \log_{125}27=\log_{5^3}3^3 =\frac33\log_5 3=\log_5 3 \]

Дробные основания

\[ \log_{1/5}5=-1, \qquad \log_{3/4}\frac43=-1 \]

Потому что числа являются «перевёрнутыми» степенями.

В №21:

\[ \log_{3/10}\frac{100}{9} = \log_{3/10}\left(\frac{3}{10}\right)^{-2} =-2 \]

Поэтому весь №21 равен

\[ -1-1-2=-4 \]

Проверка на составных номерах

№25

\[ 4^{\log_2 3}=(2^2)^{\log_2 3}=3^2=9 \]

\[ 49^{\log_7 4}=(7^2)^{\log_7 4}=4^2=16 \]

\[ \left(\frac13\right)^{\log_3 2}=3^{-\log_3 2}=\frac12 \]

Итого:

\[ 9+16-\frac12=\frac{49}{2} \]

№27

\[ \left(\frac1{64}\right)^{\log_4 3} =(4^{-3})^{\log_4 3}=3^{-3}=\frac1{27} \]

\[ 144^{\log_{12}2}=(12^2)^{\log_{12}2}=2^2=4 \]

\[ 100^{\lg5}=(10^2)^{\lg5}=5^2=25 \]

Значит:

\[ \frac1{27}\cdot4+25 = \frac{4}{27}+25 = \frac{679}{27} \]

№28

\[ 8^{\log_{1/2}3}=3^{-3}=\frac1{27} \]

\[ \left(\frac1{27}\right)^{\log_3 2}=2^{-3}=\frac18 \]

Их произведение:

\[ \frac1{27}\cdot\frac18=\frac1{216} \]

Последнее слагаемое:

\[ (0{,}01)^{\lg0{,}5} =(10^{-2})^{\lg0{,}5} =0{,}5^{-2}=4 \]

Итого:

\[ \frac1{216}+4=\frac{865}{216} \]

Проверять результаты удобно по определению логарифма: если \(a^c=b\), то \(\log_a b=c\).