Реши задание на изображении
На фото обведён вариант 23, поэтому ниже — его решение.
Краткий ответ
Все графики получаются из \(y=\cos x\) или \(y=\sin x\) сдвигами и растяжениями:
- \(y=\cos x-2\) — косинусоида, опущенная на 2 вниз; область значений \([-3;-1]\).
- \(y=0{,}5\cos x-1\) — косинусоида, сжатая по вертикали в 2 раза и опущенная на 1; \([-1{,}5;-0{,}5]\).
- \(y=2\sin(x-\pi/4)+3\) — синусоида, сдвинутая вправо на \(\pi/4\), растянутая в 2 раза и поднятая на 3; \([1;5]\).
- \(y=-\frac12\sin(x+\pi/3)+1\) — синусоида, сдвинутая влево на \(\pi/3\), отражённая, сжатая в 2 раза и поднятая на 1; \([0{,}5;1{,}5]\).
Принцип построения
Функция вида \[ y=A\sin(x+\varphi)+B \quad \text{или} \quad y=A\cos(x+\varphi)+B \] строится из базовой так:
- \(|A|\) — амплитуда: растяжение по оси \(Oy\) в \(|A|\) раз;
- если \(A<0\), график отражается относительно оси \(Ox\);
- \(B\) — сдвиг по оси \(Oy\): вверх при \(B>0\), вниз при \(B<0\);
- \(\varphi\) — сдвиг по оси \(Ox\): при \(x-\alpha\) — вправо на \(\alpha\), при \(x+\alpha\) — влево на \(\alpha\);
- период \(T=2\pi\), так как коэффициент при \(x\) равен 1.
Для построения берут пять опорных точек базовой функции: \[ 0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi. \] Находят \(x\), при которых аргумент синуса или косинуса равен этим значениям, затем вычисляют \(y\).
Таблицы точек
1. \(y=\cos x-2\)
| \(x\) | \(0\) | \(\pi/2\) | \(\pi\) | \(3\pi/2\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) |
2. \(y=0{,}5\cos x-1\)
| \(x\) | \(0\) | \(\pi/2\) | \(\pi\) | \(3\pi/2\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-0{,}5\) | \(-1\) | \(-1{,}5\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) |
3. \(y=2\sin(x-\pi/4)+3\)
Аргумент \(x-\pi/4\) пробегает \(0,\pi/2,\pi,3\pi/2,2\pi\), поэтому \(x=\pi/4,3\pi/4,5\pi/4,7\pi/4,9\pi/4\).
| \(x\) | \(\pi/4\) | \(3\pi/4\) | \(5\pi/4\) | \(7\pi/4\) | \(9\pi/4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(3\) | \(5\) | \(3\) | \(1\) | \(3\) |
4. \(y=-\frac12\sin(x+\pi/3)+1\)
Аргумент \(x+\pi/3\) пробегает \(0,\pi/2,\pi,3\pi/2,2\pi\), поэтому \(x=-\pi/3,\pi/6,2\pi/3,7\pi/6,5\pi/3\).
| \(x\) | \(-\pi/3\) | \(\pi/6\) | \(2\pi/3\) | \(7\pi/6\) | \(5\pi/3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(1\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(1\) |
Проверка
- №1: максимум \(-1\), минимум \(-3\), так как \(\cos x\in[-1;1]\).
- №2: максимум \(-0{,}5\), минимум \(-1{,}5\).
- №3: максимум \(2\cdot1+3=5\), минимум \(2\cdot(-1)+3=1\).
- №4: максимум \(-\frac12\cdot(-1)+1=1{,}5\), минимум \(-\frac12\cdot1+1=0{,}5\).
По этим точкам графики строятся плавными линиями. У №3 и №4 графики не пересекают ось \(Ox\), потому что их области значений лежат выше нуля.
