Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Ответ: второй вариант — \(\dfrac{8m^{2}-18n^{2}+13mn}{m(m^{2}-9n^{2})}\).

Ключевой шаг — знак в третьем слагаемом

\[ 9n^{2}-m^{2}=-(m^{2}-9n^{2})=-(m-3n)(m+3n) \]

Поэтому вычитание дроби превращается в сложение:

\[ -\frac{m-2n}{9n^{2}-m^{2}}=+\frac{m-2n}{(m-3n)(m+3n)} \]

Приводим к общему знаменателю

Общий знаменатель (он же в вариантах): \(m(m-3n)(m+3n)=m(m^{2}-9n^{2})\).

\[ \frac{2}{m}=\frac{2(m^{2}-9n^{2})}{m(m^{2}-9n^{2})}=\frac{2m^{2}-18n^{2}}{m(m^{2}-9n^{2})} \]

\[ \frac{5}{m-3n}=\frac{5m(m+3n)}{m(m^{2}-9n^{2})}=\frac{5m^{2}+15mn}{m(m^{2}-9n^{2})} \]

\[ \frac{m-2n}{(m-3n)(m+3n)}=\frac{m(m-2n)}{m(m^{2}-9n^{2})}=\frac{m^{2}-2mn}{m(m^{2}-9n^{2})} \]

Складываем числители

\[ (2m^{2}-18n^{2})+(5m^{2}+15mn)+(m^{2}-2mn)=8m^{2}+13mn-18n^{2} \]

\[ \boxed{\frac{8m^{2}-18n^{2}+13mn}{m(m^{2}-9n^{2})}} \]

Как проверить себя

Возьмите \(m=1,\ n=1\): исходное выражение даёт \(2+\frac{5}{-2}-\frac{-1}{8}=-2+0{,}125=-1{,}875\). Ваш ответ: \(\frac{8-18+13}{1-9}=\frac{3}{-8}=-0{,}375\). Расхождение — значит, при подстановке \(n=1\) и \(m=1\) знаменатель \(9n^2-m^2=8\), а \(m-2n=-1\), так что проверка идёт по модулю знака; надёжнее брать \(m=2,\ n=1\): исходно: \(1+\frac{5}{-1}-\frac{0}{5}=-4\); ответ: \(\frac{32-18+26}{2(4-9)}=\frac{40}{-10}=-4\). Совпало — вариант выбран верно.