Реши задание на изображении

На листе три задачи — решу все.

Кратко

1. \(MN\parallel \alpha\) — доказано.
2. \(MN\parallel \alpha\) — доказано.
3. \(BC=\dfrac{25}{3}=8\dfrac13\) см.

Задача 1

Дано: \(M\) — середина \(AC\), \(N\) — середина \(BC\), \(AB\subset\alpha\), \(C\notin\alpha\).

Доказательство:

1. В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AC\) и \(BC\), значит \(MN\) — средняя линия треугольника.
   Поэтому \[ MN\parallel AB. \]

2. Прямая \(AB\) лежит в плоскости \(\alpha\).

3. \(MN\) не лежит в \(\alpha\): иначе из \(M\in\alpha\) и \(A\in\alpha\) следовало бы, что вся прямая \(AC\) лежит в \(\alpha\), а тогда и \(C\in\alpha\), что противоречит условию.

4. По признаку параллельности прямой и плоскости: \[ MN\parallel AB,\quad AB\subset\alpha,\quad MN\not\subset\alpha \] значит, \[ MN\parallel\alpha. \]

Задача 2

Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон \(AD\) и \(BC\), \(AB\subset\alpha\), \(CD\not\subset\alpha\).

Доказательство:

1. Отрезок \(MN\) соединяет середины боковых сторон трапеции, значит это средняя линия трапеции. Поэтому \[ MN\parallel AB. \]

2. \(AB\subset\alpha\).

3. \(MN\not\subset\alpha\): если бы \(MN\subset\alpha\), то из \(A,M\in\alpha\) следовало бы \(D\in\alpha\), а из \(B,N\in\alpha\) — что \(C\in\alpha\). Тогда \(CD\subset\alpha\), противоречие.

4. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости: \[ MN\parallel\alpha. \]

Задача 3

Дано: \[ DE=5\text{ см},\qquad \frac{BD}{DA}=\frac23, \] плоскость \(\alpha\) проходит через \(B\) и \(C\), причём \(DE\parallel\alpha\).

1. Почему \(DE\parallel BC\)

Плоскость \(ABC\) пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(BC\). Отрезок \(DE\) лежит в плоскости \(ABC\) и параллелен плоскости \(\alpha\). Если бы \(DE\) пересекала \(BC\), то точка пересечения лежала бы в \(\alpha\), и тогда \(DE\) пересекала бы плоскость \(\alpha\), что невозможно.

Значит, \[ DE\parallel BC. \]

2. Подобие треугольников

Так как \(DE\parallel BC\), треугольники \(ADE\) и \(ABC\) подобны: \[ \triangle ADE\sim\triangle ABC. \]

Из условия \[ \frac{BD}{DA}=\frac23 \] можно обозначить: \[ DA=3x,\qquad BD=2x. \] Тогда \[ AB=DA+BD=3x+2x=5x, \] поэтому \[ \frac{AD}{AB}=\frac{3x}{5x}=\frac35. \]

Из подобия: \[ \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac35. \]

Подставляем \(DE=5\): \[ \frac{5}{BC}=\frac35, \] откуда \[ BC=5\cdot\frac53=\frac{25}{3}=8\frac13\text{ см}. \]

Ответ:
\[ \boxed{BC=8\frac13\text{ см}} \]

Проверка: \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{5}{25/3}=\dfrac35\), как и \(\dfrac{AD}{AB}\).