Найди производные
Краткий ответ. Для всех видимых номеров:
| № | Производная | Где применима формула |
|---|---|---|
| 5.36 | \(\displaystyle y'=\frac{2}{x^{5/3}}-\frac{3}{x^{7/4}}=\frac{2\sqrt[12]{x}-3}{\sqrt[4]{x^7}}\) | \(x>0\) |
| 5.38 | \(\displaystyle y'=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}\cos^2x}-\frac{2\operatorname{tg}x}{3\sqrt[3]{x^5}}\) | \(x\ne0,\ \cos x\ne0\) |
| 5.40 | \(\displaystyle y'=\frac{\sin x+2x\cos x}{2\sqrt{x}}\) | \(x>0\) |
| 5.42 | \(\displaystyle y'=9x^2\log_2x+\frac{3x^2}{\ln2}+\frac{2x-x^2}{e^x}\) | \(x>0\) |
| 5.44 | \(\displaystyle y'=\frac{2}{(\sin x+\cos x)^2}=\frac{1}{\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\) | \(\sin x+\cos x\ne0\) |
| 5.46 | \(\displaystyle y'=-\frac{2x}{(1+x^2)\sqrt{1-x^4}}\) | \(|x|<1\) |
| 5.48 | \(\displaystyle y'=-4\sin\frac{2x}{3}\) | \(x\in\mathbb R\) |
| 5.50 | \(\displaystyle y'=\frac{9x}{2\sqrt[4]{1+3x^2}}\) | \(x\in\mathbb R\) |
| 5.52 | \(\displaystyle y'=2\cos4x\left(\frac1{\sqrt{1+\sin4x}}+\frac1{\sqrt{1-\sin4x}}\right)\) | \(\cos4x\ne0\); иначе производной нет |
Ключевые шаги
Корни удобно записывать степенями: \[ \sqrt[n]{x^m}=x^{m/n},\qquad \frac1{x^a}=x^{-a}. \] Например, в 5.36: \[ y=4x^{-3/4}-3x^{-2/3}, \] поэтому \[ y'=4\cdot\left(-\frac34\right)x^{-7/4}-3\cdot\left(-\frac23\right)x^{-5/3} =-3x^{-7/4}+2x^{-5/3}. \]
Для сложной функции: \[ \bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))\cdot g'(x). \] Например, в 5.46: \[ u=\frac{1-x^2}{1+x^2},\qquad u'=-\frac{4x}{(1+x^2)^2}. \] Так как \(y=\sqrt u\), то \[ y'=\frac{u'}{2\sqrt u} =-\frac{2x}{(1+x^2)\sqrt{1-x^4}}. \]
В 5.52 применяем то же правило к двум корням: \[ y'=\frac{4\cos4x}{2\sqrt{1+\sin4x}} -\frac{-4\cos4x}{2\sqrt{1-\sin4x}}, \] откуда и получается ответ из таблицы.
Проверка 5.44. Дробь можно переписать: \[ \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} =\operatorname{tg}\left(x-\frac{\pi}{4}\right), \] поэтому \[ y'=\frac{1}{\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)} =\frac{2}{(\sin x+\cos x)^2}. \] Ответы совпадают.
